mardi 22 avril 2008

Sumer




De Sumer à Babylone
On situe en général les débuts de l'écriture à Sumer, dans le bassin du Tigre et de l'Euphrate ou Mésopotamie. Cette écriture, dite cunéiforme, naît du besoin d'organiser l'irrigation et le commerce. Conjointement à la naissance de l'écriture naissent les premières mathématiques utilitaires (économie, calculs de surface). Le premier système numérique positionnel apparaît : le système sexagésimal. Pendant près de deux mille ans, les mathématiques vont se développer dans la région de Sumer, Akkad puis Babylone. Les tablettes datant de cette période sont constituées de tables numériques et de modes d'emploi. C'est ainsi qu'à Nippur (à une centaine de km de Bagdad), ont été découvertes au XIXe siècle des tablettes scolaires datant de l'époque paléo-Babylonienne (2000 av. J.-C.). On sait donc qu'ils connaissaient les quatre opérations, mais se sont lancé dans des calculs plus complexes avec une très grande précision, comme des algorithmes d'extraction de racines carrées, racines cubiques, la résolution d'équations du second degré. Comme ils faisaient les divisions par multiplication par l'inverse, les tables d'inverse jouaient un grand rôle. On en a retrouvé avec des inverses pour des nombres à six chiffres sexagésimaux, ce qui indique une très grande précision . On a également retrouvé des tablettes sur lesquelles figurent la liste des carrés d'entier, la liste des cubes et la liste des triplets pythagoriciens montrant qu'ils connaissaient la propriété des triangles rectangles plus de 1 000 ans avant Pythagore. Des tablettes ont aussi été retrouvées décrivant des algorithmes pour résoudre des problèmes complexes.
Ils étaient capables d'utiliser des interpolations linéaires pour les calculs des valeurs intermédiaires ne figurant pas dans leurs tableaux. La période la plus riche concernant ces mathématiques est la période de Hammurabi (XVIIIe siècle av. J.-C.). Vers 1000 av. J.-C., on observe un développement du calcul vers l'astronomie mathématique.

-35000/-20000 Apparition des premiers os entaillés de la préhistoire.
-9000/-2000 Les peuples du Proche-Orient effectuent leurs calculs en utilisant des cônes, sphères, billes, bâtonnets et autres petits objets d'argile (calculi).
-3300/-3200 Plus anciennes traces des chiffres sumériens(base 60) et des chiffres protoélamites les plus anciennes traces de numérations écrites.
-3000/-2900 Plus anciennes traces de la numération hiéroglyphique égyptienne.
-2700 Plus anciennes traces de la numérotation cunéiforme sumérienne.

Astronomie et mathématiques
L 'astronomie sumérienne avait une théorie mathématique stricte qui est encore trop compliquée pour nous à comprendre. Cette science était plus évoluée qu'aujourd'hui, ils avaient même la connaissance d'une planète supplémentaire.













Tablette de calculs mathématiques


Notre calendrier moderne est établi à partir du calendrier sumérien deNippour (sur la carte Nippur) qui date de 4400 ans av JC.

Les astronomes étaient en fait des prêtres avec une formation spéciale, et sachant lire et écrire. Leur fonction première est religieuse.


Système sexagésimal
Le système sexagésimal est un système de numération utilisant la base 60. Notamment utilisé pour mesurer le temps ou les angles (en trigonométrie) et pour préciser des coordonnées géographiques. Au contraire de la plupart des autres systèmes numériques, le système sexagésimal n'est pas tant utilisé en informatique ou en logique pure, mais est pratique pour la mesure des angles et des coordonnées géographiques. L'unité standard du sexagésimal est le degré (360 degrés), puis la minute (60 minutes = 1 degré) puis la seconde (60 secondes = 1 minute). L'usage moderne du sexagésimal est assez proche de celui de la mesure du temps, dans lequel il y a 24 heures dans une journée, 60 minutes dans une heure et 60 secondes dans une minute. La mesure moderne du temps correspond de façon arrondie à la durée de la rotation de la Terre (jours) et de sa révolution (année). Les décimales qui sont plus petites que la seconde sont mesurées avec le système décimal.

Fractions
Le système sexagésimal a l'avantage d'avoir de nombreux diviseurs entiers (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) qui facilitent le calcul des fractions. 60 est le plus petit nombre divisible par 1,2,3,4 et 5.

Le système sexagésimal est assez pratique pour représenter des fractions:
1/2 = 0.30
1/3 = 0.20
1/4 = 0.15
1/5 = 0.12
1/6 = 0.10
1/8 = 0.07:30
1/9 = 0.06:40
1/10 = 0.06
1/12 = 0.05
1/15 = 0.04
1/20 = 0.03
1/30 = 0.02
1/40 = 0.01:30
1/1:00 = 0.01 (1/60 en décimal)


Des calculi à l’écriture cunéiforme
Pour enregistrer leurs opérations comptables, Élamites et Sumériens utilisent un système de jetons modelés dans l’argile (calculi), de taille et de forme différentes selon la valeur convenue, portant parfois des indications de nombre sous forme de traits incisés.
Ces jetons sont glissés dans une sphère creuse en argile façonnée au préalable autour du pouce, sur laquelle est apposé un sceau cylindrique identifiant le propriétaire. Par exemple, si la bulle de terre contient le dénombrement d’un troupeau confié à un berger, lorsque celui-ci le ramènera il suffira de briser la bulle pour vérifier qu’aucune bête ne manque.


Vers 3300 avant J.-C., on appose sur la sphère, à côté du sceau, un résumé de son contenu : on n’est plus obligé de la casser au moment du contrôle. Les jetons numériques deviennent alors inutiles, les sphères s’aplatissent, se transforment en tablettes et les premiers chiffres apparaissent : ce ne sont encore que des encoches plus ou moins fines, plus ou moins grandes selon la valeur attribuée, des empreintes en forme de cône ou de cercle.

mardi 15 avril 2008

Site de triche au secondaire

Un prof averti en valant plusieurs, voici un site pour vos jeunes sur lequel on trouve des travaux, des triches, des recherches, des thèmes, des trucs à faire en classe, bref, de quoi intéresser vos jeunes... hélas !

Par ici !

Jeu des 25 mathématiciens

Bonjour groupe!

Je ne sais pas si vous visitez toujours le blog, mais j'ai découvert un petit jeu intéressant en lien avec notre étude des mathématiciens! C'est tout un défi.

A vous de jouer
http://www.csaffluents.qc.ca/wjbm/matieres/mat514/pages/jeux/25mat.htm

mardi 4 mars 2008

L'histoire de la géométrie analytique

René Descartes (1596-1650) philosophe et mathématicien

René Descartes est généralement connu pour son œuvre philosophique, son nom étant d'ailleurs associé populairement à une certaine idée de l'esprit français. Toutefois, ce fut aussi un grand mathématicien. L'apport principal de Descartes dans ce domaine est la numérisation de la géométrie. En collaboration avec Pierre Fermat (1601-1665), il a mis au point la méthode des coordonnées qui permet d'effectuer facilement des démonstrations de géométrie. Par le choix d'une unité de longueur, il identifie la demi-droite avec l'ensemble des nombres réels positifs. Descartes préféra le premier les lettres du début de l'alphabet a, b, c, d... pour les nombres connus (paramètres) et celles de la fin pour les inconnues x, y, z. C'est l'usage qui s'est imposé. Descartes a systématisé la notation des exposants xn quoiqu'il utilise souvent xx au lieu de x2. Il a aussi innové en utilisant le mot fonction pour f(x) = xn.

Contributions aux mathématiques

En mathématiques, Descartes a réformé le système des notations. Les signes en usage étaient alors les signes complexes, tirés des alphabets grec et hébreu, signes malaisément maniables. Descartes ne se sert plus - sauf en ses tout premiers écrits - que des lettres de l'alphabet latin, des signes des quatre opérations arithmétiques et de la racine carrée ou cubique. Il désigne d'abord les quantités connues par les lettres minuscules, les quantités inconnues par les lettres majuscules. Mais, en 1637, il remplace ces majuscules par les dernières lettres de l'alphabet : x, y et z. Il invente aussi une méthode pour abaisser le degré des équations.

Mais la grande découverte mathématique de Descartes est celle de la géométrie analytique. Au reste, loin d'accorder à celle-ci toute l'importance que nous y attachons aujourd'hui, Descartes y voit une simple présentation algébrique de la géométrie des anciens. Seulement attentif à trouver une correspondance commode entre l'équation et la courbe géométrique, il n'expose, en sa Géométrie, le principe de sa méthode qu'en une phrase très courte, et passe tout de suite à l'examen de problèmes spécifiés. En tout cela, tendant à l'utile, il semble moins soucieux d'une véritable rationalisation des mathématiques que de la découverte de procédés permettant à la pensée des opérations plus aisées.

La géométrie analytique – origines

Il est assez habituel de considérer que la géométrie analytique a été créée par Descartes. En réalité, cette vue est trop simple. Si la « géométrie analytique » est prise au sens moderne de l'expression, celle de Descartes en était encore assez éloignée. D'autre part, plusieurs éléments caractéristiques de la géométrie analytique avaient été formulés avant Descartes.

La géométrie analytique paraît consister dans l'association de trois facteurs : l'expression d'une réalité géométrique par une relation entre des quantités variables, l'usage des coordonnées, le principe de la représentation graphique. Or, si chacun de ces trois facteurs se rencontre assez tôt dans le développement de la géométrie avant Descartes, ils n'ont cependant pas été rapprochés.

Dès la plus haute antiquité, l'observation astronomique avait conduit à repérer les directions dans l'espace par deux coordonnées angulaires : hauteur au-dessus de l'horizon, écart par rapport au méridien. Et, très tôt, furent mises en évidence des relations entre ces coordonnées. Mais il s'agissait là de pratiques qui étaient à peu près sans rapport avec la science géométrique. Au contraire, c'est au cœur même de la géométrie que l'on voit intervenir chez les Grecs un calcul portant sur deux variables en vue de caractériser des réalités géométriques et d'en établir les propriétés. Chez Archimède et surtout chez Apollonios, un tel calcul est développé systématiquement pour l'étude des coniques. Apollonios écrit explicitement les équations des coniques en coordonnées obliques ayant pour origine un point de la conique et pour directions le diamètre correspondant à ce point et son diamètre conjugué :


pour l'hyperbole, l'ellipse et la parabole respectivement.


Dans une perspective tout à fait différente, Nicolas Oresme, au XIVe siècle, imagine une représentation graphique de certains phénomènes. Il distingue une latitudo et une longitudo qui correspondent à l'abscisse et à l'ordonnée d'une représentation en coordonnées rectangulaires. Cette façon de faire est inverse de celle des Grecs, puisque Oresme ne part pas d'une réalité géométrique mais exprime sous forme géométrique une relation entre des grandeurs. La conception même d'une telle correspondance doit être considérée comme s'inscrivant dans le cadre des idées qui sont à la base de la géométrie analytique. Toutefois, les vues d'Oresme, en dépit de la grande faveur qu'elles connurent, ne furent aucunement rapprochées des pratiques « analytiques » des Grecs dont l'Occident prit connaissance vers la fin du XVIe siècle avec la publication en latin des œuvres d'Archimède et d'Apollonios.


Descartes et Fermat


Le calcul géométrique exposé par Descartes (1596-1650) dans sa Géométrie (1637) ne diffère guère en son principe du calcul d'Apollonios. Il porte sur deux variables que l'on peut sans doute considérer comme constituant des coordonnées ; mais on n'y trouve pas explicités des axes de coordonnées, c'est-à-dire deux droites orientées, distinctes des lignes de la figure. Toutefois, dans quelques passages de son ouvrage, Descartes précise qu'il choisit sur une droite, distincte de la figure, un point origine ; mais il ne fait pas intervenir un autre axe de coordonnées, se contentant de choisir une direction selon laquelle est mesurée la seconde variable.


Le vrai progrès réalisé par Descartes réside en ce que, au lieu de limiter un tel calcul à l'étude d'une figure donnée, comme le faisaient les Grecs, il le pose en procédé général susceptible de permettre la création d'une infinité de courbes nouvelles. Malheureusement, il limite singulièrement le champ de sa géométrie en refusant d'y recevoir les « courbes décrites par deux mouvements qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement ». La formule signifie que Descartes ne reconnaît que les courbes algébriques, excluant les courbes « transcendantes », dont l'étude commençait alors à se développer (logarithme, sinus et cosinus...).
Il faut, d'autre part, noter qu'à la même époque, et même un peu avant lui, Pierre de Fermat (1601-1665) avait abouti à des conceptions fort voisines. Mais, alors que Descartes adopte des notations symboliques qui représentent les constantes et les variables par des lettres, et les puissances par des exposants, Fermat demeure attaché au langage beaucoup plus lourd de l'algèbre géométrique des Grecs.


Descartes applique avec succès sa méthode à la résolution du problème dit de Pappus : Déterminer le lieu des points tels que, étant donné quatre droites et étant considéré les distances d'un point à chaque droite sous des angles déterminés, le produit de deux distances est égal au produit des deux autres. Descartes montre aisément par le calcul que ce lieu est une conique.
La nouvelle méthode suscita dans la seconde moitié du XVIIe siècle un grand nombre de travaux, concernant surtout les courbes planes algébriques (tangente, normale, centre de courbure, point d'inflexion...).

La géométrie analytique moderne


La géométrie analytique n'acquiert pleinement les traits qui la caractérisent aujourd'hui qu'au XVIIIe siècle. Tout d'abord, alors qu'elle était demeurée limitée jusque-là au plan, la géométrie analytique est étendue à l'espace. En 1700, est écrite l'équation de la sphère ; en 1731, Alexis Clairaut (1713-1765) publie une étude remarquable sur les courbes à double courbure. L'apport de Leonhard Euler (1707-1783) est particulièrement notable : dans Introductio in analysin infinitorum (1748), pour la première fois, il énonce le principe de l'équivalence des deux axes, alors que jusque-là l'axe des abscisses avait conservé, par une anomalie qui nous étonne, un rôle privilégié, et il donne une formule vraiment claire du changement de coordonnées, utilisée cependant par Van Schooten dès 1649. De plus, Euler détermine l'équation des surfaces du second degré.


La géométrie analytique ne prend cependant son essor que dans la seconde moitié du XVIIIe siècle. Dans l'esprit de ses travaux sur la mécanique analytique, Louis de Lagrange (1736-1813) souligne « avec combien de facilité et de succès la méthode algébrique peut être employée pour les questions qui paraissaient être le plus du ressort de la géométrie proprement dite et les moins propres à être traitées par le calcul ». Rompant avec la méthode cartésienne qui mêlait les procédés analytiques et géométriques, les éléments du premier ordre (droite et plan) demeurant toujours envisagés de manière géométrique, Lagrange établit autour des années 1770 les équations de la droite et du plan et inaugure l'utilisation systématique de trois axes de coordonnées.


C'est dans cet esprit que Gaspard Monge (1746-1818), à partir de 1771 et, plus systématiquement, en 1795 dans ses Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie, donne à la géométrie analytique son ampleur, établissant les équations des divers types de surfaces algébriques (surfaces réglées, développables, de révolution...) et résolvant analytiquement de nombreux problèmes. On peut alors dire que la géométrie moderne est née. En 1797, Sylvestre François Lacroix (1765-1843) en rédige le premier traité, mais sans encore user du terme même de géométrie analytique, intitulant son ouvrage : Traité de calcul différentiel et intégral.



Le XIXe siècle apporte peu de compléments notables à la géométrie analytique proprement dite. Mais le caractère arbitraire du choix des axes de coordonnées devait conduire à l'étude des invariants dans les changements de coordonnées qui, seuls, peuvent exprimer les propriétés géométriques intrinsèques des figures. À côté des travaux d'ordre algébrique qu'elle contribua à susciter, cette étude fut un des facteurs principaux du développement, au cours du XIXe siècle, des notions de vecteur et de tenseur, dont l'utilisation allait être si féconde, non seulement en mathématique pure mais aussi dans de nombreuses applications.
Sources:

Relance à Julie!

J'ai trouvé intéressant de mettre des citations ou proverbes se référant à la statistique. C'est peut-être la preuve, comme je le soulignais dans mon dernier billet, que la philosophie et les mathématiques forment un tout! En voici concernant la géométrie!

  • Tous les esprits justes, précis et clairs appartiennent à la géométrie. [Jean d'Alembert]
  • La voie ferrée est une nouvelle géométrie. [Blaise Cendrars]
  • L'aveugle est le mieux placé pour faire de la géométrie. [René Descartes]
  • Tout ce qu'enseigne la géométrie n'est vrai que pour celui qui l'a appris. [Joseph Joubert]
  • La géométrie n'est pas faite pour être apprise, elle est faite pour être utilisée.[S. Papert]
  • Pour connaître la rose, quelqu'un emploie la géométrie et un autre emploi le papillon.[Paul Claudel]

Bonne réflexion!

Boulversement!

Après de longues recherches (oh oui!), j'ai découvert que René Descartes ne serait pas le père de la géométrie analytique que nous connaissons aujourd'hui. Bien sûr, il a un certain mérite. Il ne faut quand même pas réécrire l'histoire, ce serait une lourde tâche! En effet, la géométrie analytique, appelons là ainsi, s'est transformé jusqu'au modèle que l'on connaît aujourd'hui. Plusieurs grands mathématiciens ou philosophes (c'est la même chose de toute manière!) ont fait des apports pour en arriver à ce qu'on connait désormais. Descartes, Fermat, Oresme, Archimède, Euler, Monge (Gaspard de son prénom) et j'en saute, ont tous leur mot à dire dans l'analyse de la géométrie moderne.

Par ailleurs, on peut même remonter à l'Antiquité pour se rendre compte, un peu sans le savoir, que les gens de cette époque utilisaient la géométrie analytique. En effet, l'observation astronomique n'est, ni plus ni moins, qu'une vulgarisation très simple de cette géométrie. Repérer les directions dans l'espace par deux coordonnées angulaires : hauteur au-dessus de l'horizon, écart par rapport au méridien. À quoi cette dernière phrase fait-elle allusion? À un certain système de coordonnées, comme on le voit aujourd'hui avec l'axe des ordonnées et des abscisses!

Bref, vous allez être abasourdis par les découvertes réalisées par tous ces chercheurs (j'ai tendance à exagérer!) à ce qui a trait à la géométrie analytique. Il pourrait vous manquez un chapitre à votre culture historique, alors soyez prêt!

lundi 3 mars 2008

L'histoire des mathématiques au secondaire

Voici donc une courte intervention pour énoncé mon opinion quant à la place de l'histoire des mathématiques dans les écoles secondaire.

Je ne crois pas qu'il soit nécessaire de mettre à l'horaire un cours protant uniquement sur l'histoire des mathématiques. Je crois tout de même qu'il pourrait être intéressant de parsemer nos cours de quelques capsules historiques. Ces capsules pourraient motiver les élèves qui aiment l'histoire, mais qui ne raffolent pas des mathématiques et elles pourraient aider les élèves à se former un esprit critique face à cette discipline (ce qui je crois fait partie des composantes de la première compétence au deuxième cycle: Résoudre une situation-problème). De plus, il semblerait bien que la réforme se dirige vers ce mode d'enseignement puisque souvent les premières pages d'un nouveau chapitre relatent des faites historiques ou bien ce sont les SAE ou SA qui en font l'objet. Il n'est donc pas nécessaire d'entrer dans les détails de l'histoire, mais seulement de leur expliquer les événements qui ont engendré la découverte de certains concepts. De ce fait, dans certains cas, il serait possible d'éliminer la question trop populaire: «A quoi ça sert de faire ça?» Ces petites capsules pourraient nous permettre, dans certains cas, de donner un sens à la modélisation d'une formule ou d'un raisonnement mathématique puisque l'on pourrait reproduire, en quelque sorte, le raisonnement des mathématiciens d'autrefois. De plus, comme la réforme prône les projets, il serait intéressant d'y introduire un aspect historique plutôt que seulement mathématique afin de bien comprendre l'utilité des formules.
Bref, de petites capsules historiques, par moment, pourraient bien venir égayer mes périodes et donner la chance à mes élèves de découvrir le pourquoi de cette discipline parfois complexe et leur donner envie de comprendre plus que d'apprendre tout par coeur.
Comme l'a dit Confucius:
Si j'entends, j'oublis
Si je vois, je retiens
Si je fais, je comprends

Origine des probabilités

De toute évidence, les probabilités existent depuis beaucoup plus longtemps que les écrits à ce sujet. Suite à mes recherches, j'ai découvert que les probabilités existaient grâce aux jeux de hasard qui occupaient les gens et grâce aux statistiques.

Les Hommes ont toujours aimé les jeux de hasard. Il n'est pas nouveau non plus de miser quelque chose (objet ou argent) dans le but de rendre le jeu plus intéressant. Comme il n'est pas dans notre nature de jouer pour perdre, certains ont commencé à se questionner sur leurs possibilités de gagner ou de perdre lors des parties. Ce raisonnement fait référence aux probabilités, bien que le terme n'existait pas encore. Un problème célèbre, qui relève de la problématique du jeu de hasard, a été posé à Pascal par le Chevalier de Méré: Le problème des partis. Ce fameux problème fait appel à un raisonnement de probabilités dans le but d'identifier le montant remis à chacun des participants à différents stades du jeu. Le Chevalier de Méré connaissait le résultat lorsque la partie était menée à terme, mais il se questionnait sur la distribution des montants tout au long du jeu. Il est possible de voir ce problème ainsi que l'explication de son raisonnement et les illustrations de la problématique sur le site suivant:
http://irem-fpb.univ-lyon1.fr/feuillesprobleme/feuille11/enonces/documentsmere/ChevalierdeMere.pdf

Les probabilités pourraient également avoir pris naissance grâce aux statistiques. Les statistiques existent également depuis fort longtemps. Depuis la période de l'Antiquité, les romains, les égyptiens et les grecs faisaient des recensements dans le but de dénombrer la population, les productions agricoles, les impôts, etc. Les compagnies d'assurance faisaient également des recensements et elles procédaient aussi à de petits calculs de probabilités afin de déterminer les primes devant être allouées aux différents clients.

Il est donc possible de voir que bien que les formules mathématiques ont quelque peu évolué, l'emploi que l'on en faisait autrefois est toujours d'actualité. Les recensements sont toujours présents, plusieurs recherches nous permettent de dire qu'environ 1 personne sur 3 sera atteinte de telle ou telle maladie et les jeux de hasard (souvent retrouvés dans les casinos) font encore aujourd'hui fureur bien que plusieurs s'y ruinent.

samedi 1 mars 2008

Petites pensées

Bonjour tout le monde!
En préparant mon exposé, j'ai rencontré quelques pensées qui sont en lien (parfois subtilement) avec les probabilités. J'aimerais donc vous en faire part:

1- Les statistiques, c'est comme le bikini. Ce qu'elles révèlent est suggestif. Ce qu'elles dissimulent est essentiel!
- Winston Churchill -

2- Le hasard, ce sont les lois que nous ne connaissons pas
- Émile Borel -

3-La statistique est la premièere des sciences inexactes.
- Frères Goncourt

4-Jusqu'ou aurait pu aller Moise, s'il avait commandé un sondage en Égypte?
- Harry Truman -

5-La mort d'un homme est une tragédie. La mort d'un million d'hommes est une statistique.
- Joseph Staline -

6-Les faits sont têtus, les statistiques sont plus malléables.
- Mark Twain -

7-Les statistique nous montrent que parmi ceux qui contractent l'habitude de manger, très peu survivent.
- Wallace Irvin -

Et rien de mieux que de terminer ces profondes réflexions par une petite blague qui devrait vous faire réfléchir!

8-Les statistiques de Ministère de la Santé révèlent que les maladies mentales affectent, à des degrés divers, un quart de la population. Pensez alors à vos trois meilleurs amis. Si vous n'avez rien à leur reprocher, alors c'est vous!
-Rita Mae Brown -

P.S: Des capsules plus riches en contenu devraient suivre!

mardi 19 février 2008

L'histoire continue

La beauté et les fractales

Gilles Jobin, matheux et conseiller pédagogique fort connu dans la région, a rencontré des élèves du primaire qui se sont émerveillés en voyant une fractale. Son billet permet de démontrer combien il est possible d'initier des élèves qui n'ont même aucune base de théorie des fonctions à des mathématiques plus complexes.

Son article est à lire (cliquez sur le titre du billet), son blogue à découvrir.

dimanche 17 février 2008

La famille Bernoulli

Les Bernoulli ont illustré leurs talents dans le domaine des mathématiques et des sciences durant le XVIIe et XVIIIe siècle. On compte huit mathématiciens qui ont su se faire remarquer internationalement. Parmi les plus connus, on retrouve Jacques (1654-1708) et Jean (1667-1748), fils de Nicolas (1623-1708) et Daniel (1700-1782), fils de Jean. Lorsqu’il est question de Bernoulli, il est question des équations différentielles particulières, de l’inégalité de Bernoulli, de la loi de Bernoulli, des nombres et polynômes de Bernoulli, du schéma de Bernoulli, de la loi de Bernoulli, et, etc.

Les Bernoulli étaient une famille de riches commerçants qui faisaient l’importation des épices de la Belgique, puis Nicolas Bernoulli s’exila en Suisse due à la situation de son pays.

Maintenant, parlons de Jacques, aussi appelé Jacob I dans certains documents. Il est le fils de Nicolas Bernoulli. Jacques se lance d’abord dans des études de théologie puis se dirige vers les mathématiques. En 1687, il commence à enseigner les mathématiques à l’Université de Bâle. Il emploie le calcul infinitésimal (calcul différentiel et intégral) dans plusieurs de ses problèmes et il est le premier à introduire le mot «intégrale». C’est aussi lui qui élabore les principes fondamentaux du calcul des permutations, des combinaisons et des probabilités (il systématise le calcul des probabilités, en énonçant des théorèmes prometteurs tels que l’additivité des probabilités). Puis, il laisse son nom à une équation différentielle :équation différentielle de Bernoulli (http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./e/eqpart.html) .

Le frère de Jacques, Jean ou Johann, était destiné à des études de commerce. Or, ce dernier désirait plutôt étudier les mathématiques. Il a donc fait des études de médecine! Mais sa passion pour les mathématiques était plus forte que tout, c’est pourquoi il finit par faire des études en mathématiques. En 1665, il enseigne les mathématiques aux Pays-Bas. Puis, il prend la place de son frère en tant que professeur de mathématiques à l’université de Bâle après la mort de ce dernier. On remarque, entre autres, son travail sur le calcul différentiel et intégral qu’il consacre à la résolution de problèmes géométriques et mécaniques. De plus, on dit qu’il est le premier à prouver la divergence de la série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n.

Enfin, il y a Daniel Bernoulli, le fils de Jean. Dans le domaine des sciences, on le nomme le fondateur de l’hydrodynamique grâce aux principes de base du comportement d’un fluide qu’il a découverts (http://fr.ca.encarta.msn.com/encyclopedia_761578780/fluides_m%C3%A9canique_des.html).

Daniel obtient son diplôme en médecine en 1721. Puis, en 1725, il devient lui aussi professeur de mathématiques, mais à l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. De plus, il enseigne l’anatomie et la botanique à l’université de Bâle. Il suit aussi les traces de sa famille en ayant un penchant pour le calcul infinitésimal, aux probabilités et aux équations différentielles. Sans oublier que c’est lui qui a, en quelque sorte, découvert le talent d’Euler.

Tout compte fait, il publie en 1738 sa plus grande œuvre : Hydrodynamic, document présentant la première théorie cinétique des gaz et formule le principe de conservation de l’énergie pour un fluide : principe de Bernoulli (http://fr.ca.encarta.msn.com/encyclopedia_761560121/Bernoulli_principe_de.html).


Il est aussi important de noter que tout n’était pas rose chez la famille Bernoulli et que leurs conflits quant à leurs découvertes scientifiques respectives sont aussi restés célèbres. Il y a eu jalousie, trahison et plus encore.


Sources et images:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bernoulli

http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=bernoulli

http://fr.ca.encarta.msn.com/encyclopedia_761572110/Bernoulli_famille.html

http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/2006/01/08/136-la-famille-bernoulli

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ed/node18.html


jeudi 14 février 2008

Questionnement sur les mayas

J'aimerais savoir s'il est exact qu'aucun grand mathématicien ni grand concept mathématique ne provienne de l'ère maya. Je n'ai trouvé aucune information à ce sujet. Faut-il donc conclure que la meilleure découverte pouvant être affiliée aux mathématiques et provenant des mayas est leur calendrier ultra précis?

Merci pour les précisions!

Spécification des évaluations

Bonjour tout le monde!

J'aimerais bien avoir des précisions sur quelques points.

1) Dans le plan de cours, il est inscrit que nous aurons un examen à réponses courtes portant sur les grands mathématiciens, les époques, etc. Est-ce que nous verrons du contenu lors d'une prochaine rencontre, se trouve-t-il dans les billets de tout le monde ou est-ce des choses que nous devrions déjà savoir??

2)Est-ce lors de notre exposé oral que nous devons remettre le rapport écrit?

3) Pour la participation et les échanges, il y a une note de 10% d'attribuée. Est-ce que cela devrait regrouper nos commentaires et questionnement sur le blog??

Merci beaucoup de m'éclairer!

mercredi 13 février 2008

Un peu plus sur la vie d’Euler


Tel que dit dans un billet précédent, Leonhard Euler est né en Suisse et il est décédé en Russie. Euler se fait initié aux mathématiques par son père et c’est à l’âge de 13 ans qu’il est admis à l’Université de Bâle afin d’étudier la philosophie et le droit. Il obtient d’ailleurs son diplôme en philosophie lorsqu’il est âgé de 16 ans. Or, son père aimerait plutôt qu’il devienne pasteur et l’incite à faire des études de théologie.

En 1727, Euler est convoqué à Saint-Pétersbourg par l’impératrice de la Russie, Catherine II, et ce, parce que Daniel et Nicolas Bernoulli avaient recommandé Euler à l’impératrice. Ces derniers avaient remarqué le talent d’Euler en lien avec les mathématiques.

Dès 1733, Euler remplace Daniel Bernoulli en tant que professeur et on lui confie la responsabilité du département de géographie en 1740. En 1741, le roi de Prusse, Frédéric II le Grand, invite Euler à Berlin afin que ce dernier se joigne à l’Académie de sciences, mais en vain. Euler et le roi de Prusse n’ont pas des tempéraments compatibles, c’est pourquoi le mathématicien retourne à Saint-Pétersbourg en 1766. Euler n’arrêtera pas de produire, malgré son handicap visuel et grâce à sa mémoire extraordinaire, ses fils et son valut lui serviront d’intermédiaire pour écrire son travail.

Enfin, Euler s’éteint à Saint-Pétersbourg (Russie) à l’âge de 76 ans.

Sources et images:
http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=417&IDD=0
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Euler.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euler.html

lundi 11 février 2008

La Révolution Française (1789)

Tel que mentionné dans mon premier billet, le déclenchement de la Révolution française se fait en 1789 après la convocation des États-Généraux. Or, pour répondre à une question qui m’a été posée, j’élaborerai davantage sur cette révolution, sur les causes et les conséquences de cette dernière.

D’abord, à cette période du siècle, la France compte une population de 26 M d’habitants qui est répartie de façon inégale en trois classes sociales. Il y a la noblesse où l’on retrouve 400 000 personnes et où l’on distingue la haute noblesse (environ 4000 familles relativement proches du trône) de la petite noblesse (les gentilshommes qui sont peu fortunés et la noblesse de robe qui s’occupe des tâches administratives). Par la suite, il y a le clergé qui se divise lui aussi en deux : le haut clergé (évêques, cardinaux et abbés) et le bas clergé (près du Tiers État). Cette classe sociale comptait environ 120 000 personnes. La dernière classe, mais non la moindre est celle du tiers état, qui représente 98 % de la population. On y retrouve la bourgeoisie (banquiers, hommes de droit, commerçants, enseignants, médecins), le petit peuple des villes (ouvriers, petits artisans et les sans emploi) et la paysannerie (travailleurs journaliers des campagnes et les paysans propriétaires fermiers).


La population est dirigée par Louis XVI, qui n’avait que 20 ans et qui n’avait point les qualités pour exécuter une telle tâche. Il déclara, en 1776, à Malesherbes qui était venu lui remettre sa démission : « Que vous êtes heureux ! Que ne puis-je aussi quitter ma place! ». Bref, son métier ne l’intéressait point. Or, le pouvoir du roi est sans limites, il fait ce qu’il veut avec ses ministres et il contrôle tous les membres du gouvernement central. Reste qu’on note certaines diversifications dans l’administration des provinces ce qui fait que certaines régions ou villes fonctionnent différemment. Le tout accentue le désordre et l’instabilité de l’administration française.


Passons maintenant aux choses sérieuses. En cette fin du XVIIIe siècle, c’est le mécontentement général. Le pays ne supporte plus de répondre de l’ordre ancien traditionnel, l’ordre féodal. Celui dont le roi exécute à la fois le rôle du chef militaire, du justicier et du protecteur du pays. Celui où la noblesse défend le pays avec son épée, le Clergé le soutient avec ses prières tandis que le peuple travaille et paie l’impôt.

Le tiers état n’en peut plus de tous les privilèges; les dispenses d’impôts, les droits de banalité, les droits de péage, les monopoles, les redevances diverses, tous ces avantages, toutes ces injustices outrent autant les paysans que les bourgeois. Les bourgeois sont ceux qui font vivre le peuple des villes, ils savent lire, écrire et parler. Ils sont d’avis que le royaume piétine. Ces derniers, qui prennent de plus en plus de place dans la vie économique du royaume, bouillent de colère, car ils ne disposent pas du prestige qui leur revient. Les paysans réclament d’être libérés des droits féodaux et des impôts trop accablants ainsi qu’un accès à la propriété. Le peuple des villes a énormément faim et énormément froid, les récoltes n’avaient pas été bonnes, les prix avaient subi une hausse drastique et les salaires avaient diminué. Dès lors, il n’était plus question de manifestations verbales, mais plutôt de troubles populaires. La bourgeoisie qui va prendre la tête de la Révolution peut compter sur les paysans affamés et sur le peuple des faubourgs.

En ce qui a trait au clergé, cette classe extrêmement riche ne paie pas d’impôt et se permet en plus, de soutirer la dîme sur les bénéfices agricoles. Autre fait, le clergé détourne des fonds de l’église à des fins personnelles. Mais encore, le bas clergé est pour l’évolution des choses donc en faveur du tiers état.

La noblesse, de son côté, ne démord pas de ses privilèges, essentiellement fiscaux, et cherche d'ailleurs à les renforcer. Elle veut aussi défendre sa position dominante dans la société.

Puis, les masses populaires se mobilisent et exigent la réunion des États Généraux. Pour répondre aux souhaits publics, Louis XVI acquiesce et la convocation des États Généraux est prévue pour le début du mois de mai 1789 à Versailles.


Les États Généraux

L’ouverture des États Généraux se fait le 5 mai 1789 à Versailles. Je ne vous raconterai pas tout ce qui s’est passé lors de cette rencontre, mais si vous désirez en savoir davantage, vous pouvez consulter le site suivant pour plus de renseignements : http://revolution.1789.free.fr/Cadre-page-2.htm.

Bref, après plusieurs journées de rencontres et de négociations entre les différents ordres et le roi de France, le clergé et la noblesse se joignent au Tiers le 27 juin. Puis, le 9 juillet, ce fut la fin de la monarchie absolue pour faire place à la monarchie constitutionnelle. On écrit alors : «La révolution est finie. Elle n’aura pas coûté une goutte de sang». Ce qui ne sera pas tout à fait le cas!


Prise de la Bastille

Un comité est organisé afin de discuter de la constitution (11 juillet). À ce moment, les députés se font du souci, car des troupes arrivent sur Paris et le peuple parisien commence à s’impatienter face aux difficultés d’approvisionnement. Puis, des groupes de manifestants arpentent la capitale. La journée du 13 juillet fut une journée de pillage et d'incendie : l'anarchie s'installait dans la capitale. Le 14 juillet 1789, la population parisienne attaque la forteresse de la Bastille (la prison royale). La prise de la Bastille marque l'effondrement du pouvoir royal partout en France. Dans la folle nuit du 4 août, c'est toute la société de l'ancien régime, basée sur des privilèges et des ordres distincts, qui s'écroule. Le lendemain matin, une trentaine de décrets avaient été votés. C’est alors que la nation a connu le plus étonnant des bouleversements sociaux, puis restait à reconstruire un ordre nouveau.

C'est le 11 août que l’Assemblée acceptait les décisions prises durant la nuit du 4 août. C’est alors que le servage, le droit de chasse et les justices seigneuriales ont été abolis, et ce, sans compensation. De plus, ce décret abolit la féodalité, il annonça à grands fracas l'égalité civile et fiscale, l'abolition des privilèges et de la corruption des charges. Enfin, on verra la Déclaration des droits de l'homme et du citoyen voir le jour.

Voilà, c’était ma leçon sur la Révolution française de 1789!


Sources et images:
http://francehistoire.free.fr/epoque/avant1789.html
http://revolution.1789.free.fr/Cadre-page-0.htm
http://www.csupomona.edu/~lfucaloro/fl308/notes/18e_histoire2.html

mercredi 6 février 2008

Le boulier

Les Chinois avaient recours à une machine à calculer semblable à l'abaque romain, le boulier. Le boulier chinois a une longue histoire. Sa forme actuelle procède de l'évolution de l'antique chou suan, un système de calcul où l'on utilisait de petits jetons en bambou. D'après l'ouvrage le plus ancien, le boulier chinois aurait fait apparition dès 770 avant Jésus-Christ.
Voici comment illustrer les chiffres de 1 à 10 sur un boulier chinois:

Voici comment additionner 43 + 96 en 4 étapes:






Sources : http://www.jlsigrist.com/






Les inventions françaises du XVIIe siècle

Il y a quatre grandes inventions qui ont fait une apparition marquante au 17e siècle. Il y a la transfusion sanguine, la machine à additionner, la balance à plateau ainsi que le principe d’une machine à vapeur à piston.

Transfusion sanguine

L’histoire de la transfusion sanguine est assez ancienne puisque dans un certain traité ainsi que dans l’histoire égyptienne, on en fait mention. Un pape a déjà aurait essayé, au 15e siècle, à plusieurs reprises de recevoir une transfusion. Dans son cas, on utilisait du sang animal. Ce pape a même bu le sang de trois jeunes enfants à raison de trois fois par jour. Les enfants en sont morts et le pape aussi, peu de temps après. C’est seulement en 1667 qu’un médecin français du nom de Jean-Baptiste Denis (qui était le médecin de Louis XIV) qui a été le premier à injecter du sang d’agneau à un homme. Cet homme est mort peu de temps après la transfusion. Cette même année, Denis et un confrère ont effectué la première transfusion sanguine d’homme à homme. Ces derniers étaient reliés par l’artère de l’un et la veine de l’autre. L’année suivante, le tribunal français ordonne que les transfusions sanguines doivent être effectuées seulement par un médecin. Ce médecin doit avoir, au moins, une expérience de transfusion avec un animal. Dans les siècles qui ont suivi, la méthode de transfusion s’est nettement améliorée.

La machine à additionner

En 1642, Blaise Pascal invente la toute première machine à additionner, la Pascaline. C’est un boîtier qui est composé de rouages qui représentent les chiffres de 0 à 9. Chaque roue représente une colonne décimale. La Pascaline était capable d’additionner, de soustraire et de convertir certaines monnaies de l’époque. Son système de rouage s’est répandu à travers le monde.





En 1673 Leibniz (le rival de Newton dans le calcul intégral) s’est mis à réfléchir à une façon d’améliorer la Pascaline. C’est seulement 21 ans plus tard qu’il a conçu un premier modèle permettant de faire tout ce que la Pascaline faisait, en plus d’effectuer mécaniquement les divisions. Ce modèle s’est fait attendre longtemps, car les pièces nécessaires pour son fonctionnement étaient difficiles à fabriquer.

L’évolution de la machine à calculer a suivi son cours et c’est seulement en 1972, que la première machine à calculer que l’on appelle maintenant calculatrice est arrivée. Ça ne fait pas si longtemps que cela que la calculatrice que l’on connaît aujourd’hui est arrivée!




La balance à plateau

La balance à plateau a été inventée par Gilles Personne de Roberval. C’était un enseignant qui travaillait dans un collège prestigieux et dont les cours de mathématiques étaient très populaires auprès des élèves. En 1666, il accède à l’Académie royale des sciences et trois ans plus tard, c’est là qu’il présente son projet de balance. Cette dernière est enfermée dans une caisse de bois d’où sortent deux tiges qui supportent des plateaux. Son invention est basée sur le principe d’un parallélogramme qui peut être déformé à cause de ses articulations en laissant toujours les plateaux à l’horizontal. Roberval a innové en plaçant les plateaux au-dessus du fléau alors qu’on les avait toujours placés en-dessous.


La machine à vapeur à piston

C’est Denis Papin qui a pensé à la création de cette machine. Il est diplômé en médecine, mais il a un intérêt prononcé pour la physique. Il travaille auprès de personnalités marquantes dans le domaine des sciences, entre autres Leibniz. Il travaille surtout sur le vide à ce moment-là. En 1688, il commence à s’intéresser plus aux mathématiques et à la pneumatique. En 1690, Papin a eu l’idée de condenser de l’eau pour créer un vide parfait. Son appareil expérimental est de forme cylindrique. Ce cylindre/piston de quatre centimètres de diamètre. Dans ce cylindre, il met de l’eau, puis il le place sur le feu. Le tout finit par soulever un poids de soixante livres. Un cran d’arrêt avait maintenu le piston en haut après la création de la vapeur. Il suffit de relâcher le piston après le refroidissement pour déclencher toute la force de la pression atmosphérique, d’une façon régulière. Ceci a été la première étape de la création de la machine à vapeur moderne.


Références:
www.wikipedia.org
http://clgdrouyn.fr/Histoire-de-la-calculatrice.html

La philosophie chez les Grecs

Ses origines

La tradition veut que le premier philosophe grec soit Thalès de Milet. Ce dernier ainsi que d'autres philosophes, s'appuyant sur les études astronomiques et mathématiques, s'intéressent à tout ce qui concerne la nature de l'univers, qu'ils ont nommée le cosmos.

Thalès, en quête d'une explication raisonnable de la formation du monde, a réfléchi longuement et il conclut que l'eau est la substance originelle ou l'élément générateur de tout ce qui existe dans l'univers. De cette conclusion, il refuse toute explication fondée sur des causes divines et il appuie son point en insistant que toute chose dans la nature doit être expliquée par des causes naturelles.

Un autre philosophe connu, Pythagore, explique l'univers comme étant fondé sur des relations numériques et qu'il peut être compris, décrit et mesuré par les mathématiques. Dans la même lignée, Parménide applique à la philosophie de Pythagore et il avance qu'un raisonnement philosophique doit être logique pour être vrai, donc sans contradictions.

Démocrite (460-370 av. J.-C.) part des idées de Parménide et élabore sa pensée en développant davantage sa logique. Il propose une description de l'univers unissant à la fois logique et mathématique. En reprenant tous les grands principes des premiers philosophes et en les combinant, il prétend que l'univers est constitué d'un nombre infini d'atomes qui flottent sans fin dans un espace vide. Finalement, sa théorie atomique dit que toute chose est formée par la collision et la combinaison d'atomes. Il y avait alors une certaine vision de ce que les scientifiques de nos jours appellent le "Big Bang".
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Les sophistes

Les deux principaux représentants sont Protagoras, venu de Thrace (480-408) et Gorgias, de Sicile (487-380). La pensée philosophique n’est plus fondée sur la construction du cosmos, expliquant l’univers : les sophistes mettent l’homme au centre de leur réflexion. Ainsi Protagoras peut dire : « L’homme est la mesure de toutes choses. », c’est-à-dire que la connaissance et l’expérience du monde dépendent des individus et varient avec leur jugement. Donc la véritable connaissance des choses se révèle impossible. Il ne s’agit pas pour eux de rechercher une vérité essentielle, mais ce qui peut en avoir l’apparence par le raisonnement. Cette conception débouche sur un relativisme de pensée, dont un versant est l’humanisme et l’autre le scepticisme.
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Les philosophes socratiques
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Socrate, n’ayant rien écrit sur sa pensée et sa vie, il n'est connu qu’à travers les œuvres de trois auteurs. Comme les sophistes, Socrate se détourne de la recherche sur la construction de l’Univers, la jugeant inutile : son intérêt se porte sur le seul objet d’étude qui soit à la portée de l’esprit humain : l’homme, c’est-à-dire la nature humaine en général et l’être humain en particulier. Sa méthode d’investigation est celle d’un incessant questionneur, passant au crible de l’interrogation toutes les habitudes de pensée ; mettant ainsi son interlocuteur face à ses contradictions et ses limites et lui montrant que la vraie sagesse consiste à reconnaître dans un premier temps son ignorance.
Platon était davantage promis à une carrière politique qu’à la recherche philosophique. Ce fut la rencontre avec Socrate, lors de sa vingtième année, qui, semble-t-il, décida définitivement de l’orientation de sa vie. Grande figure philosophique, avec Aristote, du IV° siècle, Platon est un théoricien, contrairement à son admirable maître. Peut-être suspect comme disciple de Socrate qu’il avait suivi pendant huit ans, en tout cas bouleversé par sa mort, il quitta Athènes en –395 et n’y revint qu’en –387 pour y fonder dans le jardin de l’Académie une école où en même temps que la philosophie étaient enseignées les disciplines fondamentales, dont la mathématique.
Aristote est né en Thrace en -384. Tôt dans sa vie, il a développé le goût pour les sciences concrètes. Mais c’est à Athènes qu’il décida de parfaire son éducation en suivant pendant vingt ans l’enseignement de Platon. Il devient un de ses élèves préférés et montra un goût profond pour l’acquisition de vastes connaissances, à tel point que Platon le surnommait « le liseur » et lui confia plus tard l’enseignement de la rhétorique. Aristote fut profondément influencé par la philosophie de Platon et son système se définit par rapport à celui de Platon, y compris dans ses oppositions, car les deux hommes avaient des tempéraments et des démarches opposés. Son œuvre était importante, mais les traités destinés à la publication sont perdus ; il ne nous reste que les notes de cours et les exposés à usage interne. Cela explique la difficulté pour connaître l’œuvre véritable d’Aristote. Ce dernier, de tempérament pragmatique, essaya de classer et de décrire rigoureusement tous les champs de la connaissance, inaugurant ainsi la démarche encyclopédique. Chose nouvelle dans l’histoire des connaissances, il distingue nettement les différentes sciences jusque là confondues dans la philosophie.
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Références
Travis Hanes III, W. 1997: Civilisation occidentale. Continuité et changements, Éditions Études Vivantes, Laval, Québec.

Mathématiques Moyen Âge (suite)

Au 11e siècle, l’indien Bhāskara introduisit certains éléments du calcul différentiel, dont des calculs de nombres dérivés comme pour la fonction sinus en particulier, la propriété d’annulation de la dérivée en un extremum de même que la première version du théorème de Rolle.

Au 14e siècle, Madhava est le premier à faire un passage à la limite. Il travaille aussi sur les fractions continuées et le nombre pi. Finalement, il fonde une école de mathématiques, Kerala, ce qui lui vaut la mention par certains esprits de père de l’analyse moderne.

Deux théorèmes intéressants en géométrie



Voici deux théorèmes intéressants que le Français Girard Desargues (1591-1661) a démontrés en géométrie. Cet homme était un architecte et un ingénieur militaire.

Théorème de Desargues :

Si deux triangles ABC et A'B'C' (six points distincts) ont leurs côtés homologues respectivement parallèles : (AB)//(A'B'), (BC)//(B'C'), (CA)//(C'A') alors les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes ou parallèles.



Théorème des triangles homologiques :


Si deux triangles ABC et A'B'C' (six points distincts) sont tels que les droites (AA '), (BB ') et (CC ') concourent en un point M, alors les supports des côtés homologues sont sécants deux à deux en des points alignés u, v et w (et la réciproque de ce résultat est vraie).

La Préhistoire : défense d’y voir !

La Préhistoire : défense d’y voir !

Nous avons tous l’image d’un homme des cavernes, barbare, primaire, ne faisant que chasser et se battre. Nous ne savons pas précisément quand sont apparus précisément le langage, la métaphysique et les mathématiques mais ils viennent probablement de l’Homo Sapiens voire d’encore avant.

L’homme primitif a dû d’abord distinguer l’unité et la pluralité (nuance entre un et des). Il a ensuite acquis la notion de paire (deux bras, deux mains, deux pieds, deux yeux, etc...). Ceci a dû l’amener à la notion de "correspondance un à un" (entailles sur les os).

On a retrouvé en Europe des os et des bouts de bois entaillés qui datent parfois de 35000 ans avant JC. L'homme qui, il y a 20000 ans, a fait 55 encoches sur l'os de loup retrouvé en Tchécoslovaquie était déjà un bon calculateur. C'était peut-être un chasseur qui dénombrait des bisons ou un berger qui comptait ses moutons.


Cet os qu’on appelle l' Os d'Ishango, aussi appelé Bâton d'Ishango, daté de près de 23 000 ans avant notre ère, semble être la plus ancienne attestation de la pratique de l'arithmétique dans l'histoire de l'humanité.

Les entailles présentes sur cet os furent interprétées, selon les auteurs, comme une calculette préhistorique, un calendrier lunaire

Il a aussi adopté, pour dénombrer, l’alignement ou l’entassement de cailloux. Le caillou se dit calculi en latin, le mot calcul a ainsi pris naissance dans l’entassement des cailloux. On utilisait aussi à cette époque des coquillages et des osselets.

Certaines tribus ont fait appel à diverses parties du corps pour compter. D’autres ont désigné des objets qui représentaient certains nombres. La main, avec ses cinq doigts, fut alors la première machine à calculer. Dans le monde entier, les hommes se sont servis des doigts de leurs mains (et parfois de leurs pieds aussi) pour compter. En Inde et en Russie, on fait encore des multiplications sur les doigts.

Mesures de longueurs / aires / volumes / calendrier lunaire
Unités de mesure : corps humain
Volume : panier
Géométrie : peintures et motifs dessinés
Astronomie : Certaines connaissances relatives au soleil, à la lune, aux étoiles ; calendrier lunaire
Influences religieuses
Activités économiques : commerce, agriculture

La société préhistorique a senti le besoin d'inventer un calendrier afin de différencier les aspects changements de la végétation et de posséder des unités de temps utiles et convenables.

Notre système décimal est dû à l’utilisation des dix doigts de nos mains. On pense que les premiers hommes ont développé le concept du nombre et des systèmes de numération qui permettent d’effectuer certaines opérations sur les entiers naturels. Ils ont commencé à mesurer des longueurs.
Bibliographie:

John Wallis (1616-1703)




John Wallis étudiait la philosophie et les langues anciennes à l’Université Cambridge. En 1640, il est ordonné prêtre et c’est alors qu’il se tourne vers les mathématiques. Ses travaux portent sur la géométrie analytique (les coniques) et sur le calcul infinitésimal. Il a aussi travaillé sur ce qu’on appelle aujourd’hui les suites numériques. Ce sont ses travaux qui ont donné le coup d’envol à Newton et Leibniz sur le calcul infinitésimal. Ces deux derniers en ont fait le calcul différentiel et intégral moderne.

Dans son traité sur les coniques, Wallis fait l’étude complète des coniques qu’il définit comme une courbe algébrique du second degré. Il a dégagé les équations suivantes :

-Parabole : y^2 = px
-Hyperbole : (a^2)(y^2) = px ± (b^2)(x^2)

Dans ce même traité, il a introduit le symbole de l’infini, le « 8 » couché, que l’on utilise encore aujourd’hui. De plus, il utilisait les exposants fractionnaires et négatifs que Newton a rendus obligatoires. Il est souvent l’origine ou l’inspiration des découvertes de Newton.

Dans son traité d’arithmétique, il a découvert la formule suivante qui permet d’intégrer assez facilement :





Toutes ses œuvres ont été publiées entre 1697 et 1699.

La carré magique

Le carré magique remonte à plus de 2000 ans avant Jésus-Christ. Son origine semble nous venir des Chinois ou des Indiens. Les plus grands mathématiciens comme Fermat et Euler ont étudié les carrés magiques. Voici les principales règles. Il s'agit de placer n2 entiers naturels distincts afin que la somme des entiers trouvés en ligne, en colonne et dans les deux diagonales soit toujours la même (c'est la constante du carré, n en est l'ordre). Si la somme des diagonales diffère de la somme des lignes et colonnes, le carré est dit semi-magique.



Voici un exemple:


Ligne 1 : 6 + 7 + 2 = 15

Ligne 2 : 1 + 5 + 9 = 15

Ligne 3 : 8 + 3 + 4 = 15

Colonne 1 : 6 + 1 + 8 = 15

Colonne 2 : 7 + 5 + 3 = 15

Colonne 3 : 2 + 9 + 4 = 15

Diagonale gauche : 6 + 5 + 4 = 15

Diagonale droite : 2 + 5 + 8 = 15

On dit que la constante du carré est de 15.

Sources : http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_magique_%28math%C3%A9matiques%29

Liu Hui

Ce mathématicien chinois commenta et compléta un ancien ouvrage de mathématiques chinoises, le Chiu-chang Suan-shu : « l'art mathématique en neuf chapitres ». On y trouve différents problèmes d'algèbre résolus au moyen de systèmes d'équations.
Concernant le cercle, Liu Hui donne l'excellente approximation 3,14159 du rapport L/d de la circonférence L d'un cercle à son diamètre d.

Mathématiques Moyen Âge

C'est au Moyen Âge qu'il y a l'expansion des nombres. Avec l'arrivée des commerces et des banques, les gens appliquent davantage l’algèbre et aussi l’usage des nombres irrationnels. Ces mathématiques vont commencer en Orient pour se transmettre en Europe par la suite. À cette période, on accepte maintenant les solutions négatives dans des problèmes, ce qu’on ne faisait pas avant. Finalement, c’est un peu après le moyen âge que l’on va prendre en considération les quantités complexes. Celles-ci vont permettre de mettre en évidence des solutions réelles de certaines équations du 3e degré.

La mesure

Les Chinois de l'Antiquité avaient développé une excellente intuition géométrique pour résoudre des problèmes. Un important ouvrage chinois écrit autour du 1er siècle, intitulé Les neuf chapitres, consacre son premier chapitre à 38 problèmes autour du calcul des surfaces de champs de formes variées. Kiyosi Yabuuti cite l'exemple suivant tiré de cet ouvrage : « Soit un champ circulaire : sa circonférence étant de 30 pas, son diamètre de 10 pas, quelle est la surface du champ? Et la réponse fournie est de 75 pas. La procédure de résolution dit de multiplier la demi-circonférence et le demi-diamètre pour obtenir le produit en pas. » Les Chinois calculaient l'aire des figures planes en assemblant des petits carrés à l'aide d'un quadrillage. Pour ce qui est des solides, ils les décomposaient en plus petits solides de volume connu ou encore évaluaient le nombre de petits cubes qui composaient le solide. Il est intéressant de signaler la similitude entre ces méthodes et celles de l'enseignement moderne, notamment le recours au cube-unité dans la comparaison de mesures de volume.
Sources : Enseigner les maths au primaire, L. Poirier, ERPI, 2001

Isaac Newton (1642-1727)

Isaac Newton a fait beaucoup de travail en physique. Il est à l’origine de la fameuse loi de la gravitation universelle. Il a aussi décomposé la lumière blanche et a été le constructeur du télescope à réflexion. Ses études ont également touché les lois de la thermodynamique. En plus de ses nombreuses contributions au monde de la physique, il a aussi occupé une place importante en mathématiques. Newton, avec Leibniz, peut être considéré comme le père du calcul différentiel et intégral grâce entre autres, à son ouvrage intitulé Méthodes des fluxions et des suites infinies, qui parut en 1671. Cependant, on ne parle pas encore de limite ou de dérivée. On s’intéresse davantage aux courbes planes, à leurs tangentes et leurs pentes, ce qu’il appelle la fluxion. L’approche de Newton est plus mécanique (géométrique) qu’analytique.

Formule du binôme de Newton (qu’on voit dans le cours d’analyse réelle :))












En poursuivant les travaux de Wallis, Newton a découvert la série du binôme. Plus tard, Euler en prouvera la convergence en utilisant x < align="center">

En 1670, Newton a commencé à travailler sur les fonctions sin, cos, tan et exponentielle. Cependant, les résultats qu’il a obtenus seront publiés beaucoup plus tard. Il faut dire aussi que Leibniz, son rival, est arrivé aux mêmes résultats que lui. Voici ce qu’ils ont trouvé :

  • sin x = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ...
  • cos x = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ...
  • tan x = x + x3/3 + 2x5/15 + 17x7/315 + ...


En algèbre, Newton a continué dans la même direction que Wallis et Descartes avant lui et il a modifié la notation algébrique des exposants. Il propose l’usage définitif, en 1676, de la notation suivante :

  • a^n , a^-n (pour 1/a^n)
  • a^(1/2) pour racine carrée de a

Aujourd’hui, nos ordinateurs utilisent encore les différences finies de Newton pour calculer des nombres dérivés (f^(n)) (xo)

Référence: www.chronomath.com

Les grands évènements de l'Antiquité grecque

Les dates entre parenthèses sont considérées av. J.-C.

  • Début de la culture de l’âge du bronze dans les Cyclades (vers 3000)
  • La civilisation minoenne se développe en Crète, où sont construits les premiers palais de Knossos et Phaistos (vers 2200)
  • L’écriture pictographique se développe et sera utilisé jusqu’en -1600 (vers 2000)
  • Apparition de l’écriture linéaire A qui n’a pas encore été déchiffrée (vers 1900)
  • Un séisme détruit les palais des Minoens, qui en reconstruisent de plus grands (vers 1700)
  • Les Mycéniens deviennent le peuple dominant en Grèce continentale (vers 1600)
  • La colonie minoenne de Théra est détruite par un séisme, suivi d’une explosion volcanique qui entraîne l’abandon total de l’île (vers 1500)
  • L’écriture idéogrammatique linéaire B (déchiffrée) est employée à Knossos. La plupart des palais et des centres crétois sont détruits. Les Mycéniens occupent Knossos (vers 1450)
  • Le palais de Knossos est incendié et abandonné, et ne sera jamais plus reconstruit (vers 1400)
  • La forteresse d’Athènes, qui prendra plus tard le nom d’Acropole, est entourée de murs défensifs à la fin de la période mycénienne (vers 1300)
  • La civilisation mycénienne s’éteint brutalement. La Grèce dans les Ages sombres, qui durent approximativement jusqu’au VIIIe siècle av. J.-C. (vers 1100)
  • Des colons grecs émigrent de la Grèce continentale sur les côtes de l’Asie mineure et dans les îles orientales de la mer Égée (vers 1000)
  • Selon la tradition, des jeux sportifs sont organisés pour la première fois dans le sanctuaire de Zeus, à l’Olympie (776)
  • Pendant la période archaique, Athènes et Sparte accroissent leur puissance (vers 750)
  • Corinthe fonde la ville de Syracuse en Sicile (733)
  • Sparte conquiert la Messénie et étend sa domination sur le Péloponnèse (715)
  • Sparte fonde la ville de Tarente dans le sud de l’Italie (706)
  • Delphes, avec l’oracle d’Appolon, devient un grand centre religieux (vers 650)
  • Solon introduit les premières réformes démocratiques à Athènes (594)
  • Le tyran Pisistrate s’empare du pouvoir à Athènes (540)
  • Après l’assassinat d’un des fils de Pisistrate et le départ en exil de l’autre, Clisthène pose les bases de la démocratie athénienne (510)
  • Les cités grecques de l’Asie Mineure se révoltent contre les Perses. Pour punir Athènes de les avoir aidées, Darios envoie une armée en Grèce, qui est vaincue à Marathon par les Athéniens (490)
  • Xernès tente une seconde invasion de la Grèce. D’abord vainqueurs aux Thermopyles, les Perses sont défaits sur mer à Salamine, puis sur terre à Platées (480)
  • Création de la Ligue de Délos, une alliance de cités grecques disposant d’un trésor commun en appliquant une politique extérieure identique, dominée par Athènes (476)
  • Naxos, qui voulait quitter la Ligue, y est maintenue de force par Athènes (471)
  • Naissance du philosophe athénien Socrate (469)
  • Début de la construction du Parthénon, sur l’Acropole d’Athènes, qui sera achevé 16 ans plus tard (448)
  • Périclès, élu par l’Assemblée du peuple à la tête du collège des généraux, dirige Athènes jusqu’à sa mort en –429 (443)
  • La guerre du Péloponnèse oppose Athènes à Sparte et à ses alliés (431-404)
  • Naissance de Platon (429)
  • Athènes est vaincue par Sparte, qui devient la plus puissante des cités-grecques (404)
  • Sparte et la Perse rompent leur alliance et entrent en guerre, en Asie Mineure (401)
  • Socrate, accusé de corrompre la jeunesse, est condamné à mort à Athènes (399)
  • Sparte est victorieuse de la coalition d’Athènes, Argos, Corinthe et Thèbes, qui se livrent ensuite des guerres incessantes pendant quatre ans (395)
  • Naissance su philosophe et savant Aristote (384)
  • La puissance de Sparte est détruite par les Thébains à la bataille de Leutres (371)
  • Philippe II monte sur le trône de Macédoine. En vingt ans, il étend sa domination du Danube à la mer Égée et de la côte adriatique à la mer Noire (359)
  • Philippe II inflige une défaite aux Grecs coalisés à Chéronée (338)
  • Après l’assassinat de Philippe, son fils Alexandre devient roi de Macédoine et prépare une expédition contre les Perses (336)
  • Accueilli comme un libérateur en Égypte, Alexandre crée la ville d’Alexandrie (332)
  • Alexandre détruit les armées du roi perse Darios III et s’empare de Babylone (331)
  • Alexandre meurt à Babylone (323)
  • La Macédoine et la Grèce sont annexées par Rome (146)
  • Athènes est saccagée par les Romains (86)

Référence

Revez, J. 2006: Histoire de l'Antiquité. Recueil de textes et de travaux de sessions. Université du Québec en Outaouais.

Pierre de Fermat (1601-1665)






Pierre de Fermat a accompli plusieurs choses au 17e siècle. En plus d’être mathématicien, il a été conseiller du roi au Parlement de Toulouse (cours de la justice) et il a aussi été un des fondateurs de l’Académie des Sciences.

Il a travaillé avec Blaise Pascal sur les probabilités. En s’inspirant de d’autres, il a écrit la théorie des nombres.

Le grand théorème de Fermat (1621) dit qu’un cube ne peut pas se décomposer en deux cubes, un carré en deux carrés de carré et plus généralement, aucune puissance ne peut se décomposer en deux puissances de même exposant.

En arithmétique, Fermat a prouvé que pour tout entier p premier de forme 4n + 1 est une somme de deux carrés. Il a aussi établi que pour un entier naturel, (x^3) - 2 = (n^2) implique que x = 3. Il est aussi à la base des cubes et des carrés magiques.

Une autre de ses grandes contributions a été le point de Fermat. Soit un triangle ABC. Si on trace des triangles équilatéraux avec chacun des côtés du triangle ABC, les droites en pointillés (AA’), (BB’) et (CC’) se croisent toutes en un point qui est le point de Fermat.








Fermat a aussi travaillé sur les spirales paraboliques et il en a dégagé l’équation suivante : r2 = at, où a est un réel non nul.



En 1637, il énonce un autre théorème dans un traité qui parlait des extremums. Ce théorème pourrait s’écrire de cette façon aujourd’hui :

Si une fonction numérique f dérivable sur]a, b [ admet un extremum en un point c de cet intervalle, alors f’(c) = 0

Il est important de mentionner que les œuvres de Fermat ont été éditées par son fils. Cependant, Fermat ne publiait pas tous ses ouvrages et encore moins ses démonstrations. On estime que beaucoup de ses travaux ont été perdus.

À l’Université Paul Sabatier de Toulouse, on remet un prix de Fermat, servant à souligner le travail de mathématiciens qui a été déterminant pour la connaissance des mathématiques. On le remet encore aujourd’hui.
référence: www.chronomath.com

Les mathématiques chez les Grecs

Thalès et Pythagore fondent la science mathématique au VIe siècle av. J.-C. chez les Grecs. Pendant près d’un millénaire, ces derniers accumuleront tout un savoir arithmétique et géométrique d’où il ne faut pas oublier la logique du philosophe Aristote. Ce n’est que vers 300 av. J.-C. qu’Euclide (photo) viendra mettre les pendules à l’heure en regroupant dans ses écrits (Éléments de la mathématique de son temps), toutes les mathématiques connues et démontrées. Cet encyclopédie ordonne toutes connaissances, mais surtout elle les enchaîne logiquement, en distinguant définitions, postulats et axiomes.

L’arithmétique de nos jours peut paraître simple de nos jours, mais il n’en était pas ainsi dans l’Antiquité grecque. Quoiqu’ils utilisaient des lettres pour leur système de numération, ce n’était pas le cas lorsqu’ils devaient effectuer des opérations arithmétiques. Ils utilisaient un système de traits pour représenter les nombres. Pour pratiquer à faire des calculs, ils avaient deux techniques : l’utilisation de leurs doigts ou des cailloux placés sur une planche, nommée abaque (photo ci-dessous). C’est en grande partie grâce aux commerçants de cette époque que la science mathématique s’est développée puisqu’ils devaient tenir une comptabilité considérée complexe à ce moment.


Les deux domaines de la mathématique grecque sont généralement l’arithmétique et la géométrie. Si l’arithmétique a pour origine le travail des commerçants, des comptables et des navigateurs, la géométrie a la sienne dans le travail des artistes, sculpteurs, peintres, céramistes, architectes, etc.

Pour ce qui est des différentes démonstrations que l’on retrouve habituellement dans les manuels d’histoire des mathématiques, l’utilisation de lettres pour représenter des mesures (algèbre) est un anachronisme. En fait, ce n’est qu’au XVIe siècle que les mathématiciens commencent à représenter les grandeurs par des lettres. Puisque les écrits des plus grands mathématiciens grecs n’ont jamais été trouvés, il est difficile, voire même impossible, de déterminer le langage mathématique utilisé pour démontrer leurs découvertes.

Chez les Grecs de l’Antiquité, les mathématiques ne sont plus considérés comme un simple passe-temps. Elles sont vues comme un intense sentiment de beauté qui caractérise l’être absolu ou indiscutable. Par exemple, les statues sont fabriquées selon les rapports entre la hauteur de celle-ci et la hauteur réelle de l’objet ou être à reproduire.

Dans nos écoles, nous entendons surtout parler de deux grands mathématiciens grecs : Thalès et Pythagore. Cependant, il en existe plusieurs autres. En voici quelques-uns. Oenopide de Chios a été celui qui a réussi tracer une perpendiculaire à une droite à l’aide d’un compas.Aussi, Hippocrate a contribué à la résolution de la quadrature du cercle (construction d’un carré dont l’aire est la même qu’un cercle donné). Il a aussi posé un problème de la duplication du cube et il ne sera finalement résolu qu’au XIXe siècle! Finalement, Eudoxe de Cnibe est celui qui a résolu le problème de la section d’or qui consiste à découper un segment de droite en section dite harmonieuse.

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Références

Baudet, J. 2002: Nouvel abrégé d'histoire des mathématiques, Éditions Vuibert, Paris, France.

Blaise Pascal (1623-1662)




Blaise Pascal a lui aussi fait d’importants travaux au cours du 17e siècle. Il commence à travailler en science assez jeune. À 12 ans, il découvre et démontre des théorèmes de la géométrie euclidienne. Quatre ans plus tard, il publie un essai en latin qui traite des coniques. Il est inspiré par les travaux d’un autre mathématicien, Desargues. Par la suite, il a travaillé avec Fermat sur l’analyse combinatoire et le calcul de probabilités. Ils se sont concentrés sur les problèmes de jeux et l’espérance du gain (espérance mathématique). Ils ont découvert la formule de l’espérance mathématique :

E = Spixi ( S = sommation)


Cette formule calcule la moyenne des points xi pondérée par leur probabilité d’apparition pi.



Le triangle de Pascal est une autre découverte fort intéressante. Ce triangle permet de calculer facilement les combinaisons Cnp avec la formule suivante :

Pour tout n de N, Cn0 = Cnn = 1 et pour n et p non nuls avec p < cnp =" Cn-1p-1" color="#ff0000">raisonnement par récurrence. C’est une forme de raisonnement inductif qui était prôné par Poincaré et les intuitionnistes. La base de ce raisonnement est la suivante :

cas-- particulier-- cas général-- effet cause



Le travail de Pascal traite aussi des arrangements et le nombre d’injections avec la formule suivante :

Cnp = Anp / p! = n(n - 1)(n - 2)(...)(n - p + 1)/p!


La loi de Pascal ou loi géométrique

Cette loi a été énoncée par Pascal pour ensuite être utilisée dans la répétition d’épreuve de Bernoulli. Voici la règle :

Soit p un réel (0 < x =" k}" pk =" p(1">

Blaise Pascal a aussi travaillé en géométrie analytique. C’était un sujet assez intéressant pour les mathématiciens de ce siècle. C’est lui qui a introduit le vocabulaire abscisse et ordonnée en 1658. En étudiant le comportement d’une roulette (aujourd’hui cycloïde) dans le plan cartésien, Pascal annonce le calcul infinitésimal, qui est maintenant connu comme étant le calcul différentiel et intégral.



À partir de cela, Pascal a résolu le paradoxe des deux roues d’Aristote en affirmant ceci : Une roue de rayon r< R est fixée concentriquement à une roue de rayon R. Lorsque la grande roue fait un tour complet, il en est de même de la plus petite. En conséquence, tous les cercles ont même circonférence.