mardi 4 mars 2008

L'histoire de la géométrie analytique

René Descartes (1596-1650) philosophe et mathématicien

René Descartes est généralement connu pour son œuvre philosophique, son nom étant d'ailleurs associé populairement à une certaine idée de l'esprit français. Toutefois, ce fut aussi un grand mathématicien. L'apport principal de Descartes dans ce domaine est la numérisation de la géométrie. En collaboration avec Pierre Fermat (1601-1665), il a mis au point la méthode des coordonnées qui permet d'effectuer facilement des démonstrations de géométrie. Par le choix d'une unité de longueur, il identifie la demi-droite avec l'ensemble des nombres réels positifs. Descartes préféra le premier les lettres du début de l'alphabet a, b, c, d... pour les nombres connus (paramètres) et celles de la fin pour les inconnues x, y, z. C'est l'usage qui s'est imposé. Descartes a systématisé la notation des exposants xn quoiqu'il utilise souvent xx au lieu de x2. Il a aussi innové en utilisant le mot fonction pour f(x) = xn.

Contributions aux mathématiques

En mathématiques, Descartes a réformé le système des notations. Les signes en usage étaient alors les signes complexes, tirés des alphabets grec et hébreu, signes malaisément maniables. Descartes ne se sert plus - sauf en ses tout premiers écrits - que des lettres de l'alphabet latin, des signes des quatre opérations arithmétiques et de la racine carrée ou cubique. Il désigne d'abord les quantités connues par les lettres minuscules, les quantités inconnues par les lettres majuscules. Mais, en 1637, il remplace ces majuscules par les dernières lettres de l'alphabet : x, y et z. Il invente aussi une méthode pour abaisser le degré des équations.

Mais la grande découverte mathématique de Descartes est celle de la géométrie analytique. Au reste, loin d'accorder à celle-ci toute l'importance que nous y attachons aujourd'hui, Descartes y voit une simple présentation algébrique de la géométrie des anciens. Seulement attentif à trouver une correspondance commode entre l'équation et la courbe géométrique, il n'expose, en sa Géométrie, le principe de sa méthode qu'en une phrase très courte, et passe tout de suite à l'examen de problèmes spécifiés. En tout cela, tendant à l'utile, il semble moins soucieux d'une véritable rationalisation des mathématiques que de la découverte de procédés permettant à la pensée des opérations plus aisées.

La géométrie analytique – origines

Il est assez habituel de considérer que la géométrie analytique a été créée par Descartes. En réalité, cette vue est trop simple. Si la « géométrie analytique » est prise au sens moderne de l'expression, celle de Descartes en était encore assez éloignée. D'autre part, plusieurs éléments caractéristiques de la géométrie analytique avaient été formulés avant Descartes.

La géométrie analytique paraît consister dans l'association de trois facteurs : l'expression d'une réalité géométrique par une relation entre des quantités variables, l'usage des coordonnées, le principe de la représentation graphique. Or, si chacun de ces trois facteurs se rencontre assez tôt dans le développement de la géométrie avant Descartes, ils n'ont cependant pas été rapprochés.

Dès la plus haute antiquité, l'observation astronomique avait conduit à repérer les directions dans l'espace par deux coordonnées angulaires : hauteur au-dessus de l'horizon, écart par rapport au méridien. Et, très tôt, furent mises en évidence des relations entre ces coordonnées. Mais il s'agissait là de pratiques qui étaient à peu près sans rapport avec la science géométrique. Au contraire, c'est au cœur même de la géométrie que l'on voit intervenir chez les Grecs un calcul portant sur deux variables en vue de caractériser des réalités géométriques et d'en établir les propriétés. Chez Archimède et surtout chez Apollonios, un tel calcul est développé systématiquement pour l'étude des coniques. Apollonios écrit explicitement les équations des coniques en coordonnées obliques ayant pour origine un point de la conique et pour directions le diamètre correspondant à ce point et son diamètre conjugué :


pour l'hyperbole, l'ellipse et la parabole respectivement.


Dans une perspective tout à fait différente, Nicolas Oresme, au XIVe siècle, imagine une représentation graphique de certains phénomènes. Il distingue une latitudo et une longitudo qui correspondent à l'abscisse et à l'ordonnée d'une représentation en coordonnées rectangulaires. Cette façon de faire est inverse de celle des Grecs, puisque Oresme ne part pas d'une réalité géométrique mais exprime sous forme géométrique une relation entre des grandeurs. La conception même d'une telle correspondance doit être considérée comme s'inscrivant dans le cadre des idées qui sont à la base de la géométrie analytique. Toutefois, les vues d'Oresme, en dépit de la grande faveur qu'elles connurent, ne furent aucunement rapprochées des pratiques « analytiques » des Grecs dont l'Occident prit connaissance vers la fin du XVIe siècle avec la publication en latin des œuvres d'Archimède et d'Apollonios.


Descartes et Fermat


Le calcul géométrique exposé par Descartes (1596-1650) dans sa Géométrie (1637) ne diffère guère en son principe du calcul d'Apollonios. Il porte sur deux variables que l'on peut sans doute considérer comme constituant des coordonnées ; mais on n'y trouve pas explicités des axes de coordonnées, c'est-à-dire deux droites orientées, distinctes des lignes de la figure. Toutefois, dans quelques passages de son ouvrage, Descartes précise qu'il choisit sur une droite, distincte de la figure, un point origine ; mais il ne fait pas intervenir un autre axe de coordonnées, se contentant de choisir une direction selon laquelle est mesurée la seconde variable.


Le vrai progrès réalisé par Descartes réside en ce que, au lieu de limiter un tel calcul à l'étude d'une figure donnée, comme le faisaient les Grecs, il le pose en procédé général susceptible de permettre la création d'une infinité de courbes nouvelles. Malheureusement, il limite singulièrement le champ de sa géométrie en refusant d'y recevoir les « courbes décrites par deux mouvements qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement ». La formule signifie que Descartes ne reconnaît que les courbes algébriques, excluant les courbes « transcendantes », dont l'étude commençait alors à se développer (logarithme, sinus et cosinus...).
Il faut, d'autre part, noter qu'à la même époque, et même un peu avant lui, Pierre de Fermat (1601-1665) avait abouti à des conceptions fort voisines. Mais, alors que Descartes adopte des notations symboliques qui représentent les constantes et les variables par des lettres, et les puissances par des exposants, Fermat demeure attaché au langage beaucoup plus lourd de l'algèbre géométrique des Grecs.


Descartes applique avec succès sa méthode à la résolution du problème dit de Pappus : Déterminer le lieu des points tels que, étant donné quatre droites et étant considéré les distances d'un point à chaque droite sous des angles déterminés, le produit de deux distances est égal au produit des deux autres. Descartes montre aisément par le calcul que ce lieu est une conique.
La nouvelle méthode suscita dans la seconde moitié du XVIIe siècle un grand nombre de travaux, concernant surtout les courbes planes algébriques (tangente, normale, centre de courbure, point d'inflexion...).

La géométrie analytique moderne


La géométrie analytique n'acquiert pleinement les traits qui la caractérisent aujourd'hui qu'au XVIIIe siècle. Tout d'abord, alors qu'elle était demeurée limitée jusque-là au plan, la géométrie analytique est étendue à l'espace. En 1700, est écrite l'équation de la sphère ; en 1731, Alexis Clairaut (1713-1765) publie une étude remarquable sur les courbes à double courbure. L'apport de Leonhard Euler (1707-1783) est particulièrement notable : dans Introductio in analysin infinitorum (1748), pour la première fois, il énonce le principe de l'équivalence des deux axes, alors que jusque-là l'axe des abscisses avait conservé, par une anomalie qui nous étonne, un rôle privilégié, et il donne une formule vraiment claire du changement de coordonnées, utilisée cependant par Van Schooten dès 1649. De plus, Euler détermine l'équation des surfaces du second degré.


La géométrie analytique ne prend cependant son essor que dans la seconde moitié du XVIIIe siècle. Dans l'esprit de ses travaux sur la mécanique analytique, Louis de Lagrange (1736-1813) souligne « avec combien de facilité et de succès la méthode algébrique peut être employée pour les questions qui paraissaient être le plus du ressort de la géométrie proprement dite et les moins propres à être traitées par le calcul ». Rompant avec la méthode cartésienne qui mêlait les procédés analytiques et géométriques, les éléments du premier ordre (droite et plan) demeurant toujours envisagés de manière géométrique, Lagrange établit autour des années 1770 les équations de la droite et du plan et inaugure l'utilisation systématique de trois axes de coordonnées.


C'est dans cet esprit que Gaspard Monge (1746-1818), à partir de 1771 et, plus systématiquement, en 1795 dans ses Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie, donne à la géométrie analytique son ampleur, établissant les équations des divers types de surfaces algébriques (surfaces réglées, développables, de révolution...) et résolvant analytiquement de nombreux problèmes. On peut alors dire que la géométrie moderne est née. En 1797, Sylvestre François Lacroix (1765-1843) en rédige le premier traité, mais sans encore user du terme même de géométrie analytique, intitulant son ouvrage : Traité de calcul différentiel et intégral.



Le XIXe siècle apporte peu de compléments notables à la géométrie analytique proprement dite. Mais le caractère arbitraire du choix des axes de coordonnées devait conduire à l'étude des invariants dans les changements de coordonnées qui, seuls, peuvent exprimer les propriétés géométriques intrinsèques des figures. À côté des travaux d'ordre algébrique qu'elle contribua à susciter, cette étude fut un des facteurs principaux du développement, au cours du XIXe siècle, des notions de vecteur et de tenseur, dont l'utilisation allait être si féconde, non seulement en mathématique pure mais aussi dans de nombreuses applications.
Sources:

Relance à Julie!

J'ai trouvé intéressant de mettre des citations ou proverbes se référant à la statistique. C'est peut-être la preuve, comme je le soulignais dans mon dernier billet, que la philosophie et les mathématiques forment un tout! En voici concernant la géométrie!

  • Tous les esprits justes, précis et clairs appartiennent à la géométrie. [Jean d'Alembert]
  • La voie ferrée est une nouvelle géométrie. [Blaise Cendrars]
  • L'aveugle est le mieux placé pour faire de la géométrie. [René Descartes]
  • Tout ce qu'enseigne la géométrie n'est vrai que pour celui qui l'a appris. [Joseph Joubert]
  • La géométrie n'est pas faite pour être apprise, elle est faite pour être utilisée.[S. Papert]
  • Pour connaître la rose, quelqu'un emploie la géométrie et un autre emploi le papillon.[Paul Claudel]

Bonne réflexion!

Boulversement!

Après de longues recherches (oh oui!), j'ai découvert que René Descartes ne serait pas le père de la géométrie analytique que nous connaissons aujourd'hui. Bien sûr, il a un certain mérite. Il ne faut quand même pas réécrire l'histoire, ce serait une lourde tâche! En effet, la géométrie analytique, appelons là ainsi, s'est transformé jusqu'au modèle que l'on connaît aujourd'hui. Plusieurs grands mathématiciens ou philosophes (c'est la même chose de toute manière!) ont fait des apports pour en arriver à ce qu'on connait désormais. Descartes, Fermat, Oresme, Archimède, Euler, Monge (Gaspard de son prénom) et j'en saute, ont tous leur mot à dire dans l'analyse de la géométrie moderne.

Par ailleurs, on peut même remonter à l'Antiquité pour se rendre compte, un peu sans le savoir, que les gens de cette époque utilisaient la géométrie analytique. En effet, l'observation astronomique n'est, ni plus ni moins, qu'une vulgarisation très simple de cette géométrie. Repérer les directions dans l'espace par deux coordonnées angulaires : hauteur au-dessus de l'horizon, écart par rapport au méridien. À quoi cette dernière phrase fait-elle allusion? À un certain système de coordonnées, comme on le voit aujourd'hui avec l'axe des ordonnées et des abscisses!

Bref, vous allez être abasourdis par les découvertes réalisées par tous ces chercheurs (j'ai tendance à exagérer!) à ce qui a trait à la géométrie analytique. Il pourrait vous manquez un chapitre à votre culture historique, alors soyez prêt!

lundi 3 mars 2008

L'histoire des mathématiques au secondaire

Voici donc une courte intervention pour énoncé mon opinion quant à la place de l'histoire des mathématiques dans les écoles secondaire.

Je ne crois pas qu'il soit nécessaire de mettre à l'horaire un cours protant uniquement sur l'histoire des mathématiques. Je crois tout de même qu'il pourrait être intéressant de parsemer nos cours de quelques capsules historiques. Ces capsules pourraient motiver les élèves qui aiment l'histoire, mais qui ne raffolent pas des mathématiques et elles pourraient aider les élèves à se former un esprit critique face à cette discipline (ce qui je crois fait partie des composantes de la première compétence au deuxième cycle: Résoudre une situation-problème). De plus, il semblerait bien que la réforme se dirige vers ce mode d'enseignement puisque souvent les premières pages d'un nouveau chapitre relatent des faites historiques ou bien ce sont les SAE ou SA qui en font l'objet. Il n'est donc pas nécessaire d'entrer dans les détails de l'histoire, mais seulement de leur expliquer les événements qui ont engendré la découverte de certains concepts. De ce fait, dans certains cas, il serait possible d'éliminer la question trop populaire: «A quoi ça sert de faire ça?» Ces petites capsules pourraient nous permettre, dans certains cas, de donner un sens à la modélisation d'une formule ou d'un raisonnement mathématique puisque l'on pourrait reproduire, en quelque sorte, le raisonnement des mathématiciens d'autrefois. De plus, comme la réforme prône les projets, il serait intéressant d'y introduire un aspect historique plutôt que seulement mathématique afin de bien comprendre l'utilité des formules.
Bref, de petites capsules historiques, par moment, pourraient bien venir égayer mes périodes et donner la chance à mes élèves de découvrir le pourquoi de cette discipline parfois complexe et leur donner envie de comprendre plus que d'apprendre tout par coeur.
Comme l'a dit Confucius:
Si j'entends, j'oublis
Si je vois, je retiens
Si je fais, je comprends

Origine des probabilités

De toute évidence, les probabilités existent depuis beaucoup plus longtemps que les écrits à ce sujet. Suite à mes recherches, j'ai découvert que les probabilités existaient grâce aux jeux de hasard qui occupaient les gens et grâce aux statistiques.

Les Hommes ont toujours aimé les jeux de hasard. Il n'est pas nouveau non plus de miser quelque chose (objet ou argent) dans le but de rendre le jeu plus intéressant. Comme il n'est pas dans notre nature de jouer pour perdre, certains ont commencé à se questionner sur leurs possibilités de gagner ou de perdre lors des parties. Ce raisonnement fait référence aux probabilités, bien que le terme n'existait pas encore. Un problème célèbre, qui relève de la problématique du jeu de hasard, a été posé à Pascal par le Chevalier de Méré: Le problème des partis. Ce fameux problème fait appel à un raisonnement de probabilités dans le but d'identifier le montant remis à chacun des participants à différents stades du jeu. Le Chevalier de Méré connaissait le résultat lorsque la partie était menée à terme, mais il se questionnait sur la distribution des montants tout au long du jeu. Il est possible de voir ce problème ainsi que l'explication de son raisonnement et les illustrations de la problématique sur le site suivant:
http://irem-fpb.univ-lyon1.fr/feuillesprobleme/feuille11/enonces/documentsmere/ChevalierdeMere.pdf

Les probabilités pourraient également avoir pris naissance grâce aux statistiques. Les statistiques existent également depuis fort longtemps. Depuis la période de l'Antiquité, les romains, les égyptiens et les grecs faisaient des recensements dans le but de dénombrer la population, les productions agricoles, les impôts, etc. Les compagnies d'assurance faisaient également des recensements et elles procédaient aussi à de petits calculs de probabilités afin de déterminer les primes devant être allouées aux différents clients.

Il est donc possible de voir que bien que les formules mathématiques ont quelque peu évolué, l'emploi que l'on en faisait autrefois est toujours d'actualité. Les recensements sont toujours présents, plusieurs recherches nous permettent de dire qu'environ 1 personne sur 3 sera atteinte de telle ou telle maladie et les jeux de hasard (souvent retrouvés dans les casinos) font encore aujourd'hui fureur bien que plusieurs s'y ruinent.

samedi 1 mars 2008

Petites pensées

Bonjour tout le monde!
En préparant mon exposé, j'ai rencontré quelques pensées qui sont en lien (parfois subtilement) avec les probabilités. J'aimerais donc vous en faire part:

1- Les statistiques, c'est comme le bikini. Ce qu'elles révèlent est suggestif. Ce qu'elles dissimulent est essentiel!
- Winston Churchill -

2- Le hasard, ce sont les lois que nous ne connaissons pas
- Émile Borel -

3-La statistique est la premièere des sciences inexactes.
- Frères Goncourt

4-Jusqu'ou aurait pu aller Moise, s'il avait commandé un sondage en Égypte?
- Harry Truman -

5-La mort d'un homme est une tragédie. La mort d'un million d'hommes est une statistique.
- Joseph Staline -

6-Les faits sont têtus, les statistiques sont plus malléables.
- Mark Twain -

7-Les statistique nous montrent que parmi ceux qui contractent l'habitude de manger, très peu survivent.
- Wallace Irvin -

Et rien de mieux que de terminer ces profondes réflexions par une petite blague qui devrait vous faire réfléchir!

8-Les statistiques de Ministère de la Santé révèlent que les maladies mentales affectent, à des degrés divers, un quart de la population. Pensez alors à vos trois meilleurs amis. Si vous n'avez rien à leur reprocher, alors c'est vous!
-Rita Mae Brown -

P.S: Des capsules plus riches en contenu devraient suivre!