mardi 19 février 2008

L'histoire continue

La beauté et les fractales

Gilles Jobin, matheux et conseiller pédagogique fort connu dans la région, a rencontré des élèves du primaire qui se sont émerveillés en voyant une fractale. Son billet permet de démontrer combien il est possible d'initier des élèves qui n'ont même aucune base de théorie des fonctions à des mathématiques plus complexes.

Son article est à lire (cliquez sur le titre du billet), son blogue à découvrir.

dimanche 17 février 2008

La famille Bernoulli

Les Bernoulli ont illustré leurs talents dans le domaine des mathématiques et des sciences durant le XVIIe et XVIIIe siècle. On compte huit mathématiciens qui ont su se faire remarquer internationalement. Parmi les plus connus, on retrouve Jacques (1654-1708) et Jean (1667-1748), fils de Nicolas (1623-1708) et Daniel (1700-1782), fils de Jean. Lorsqu’il est question de Bernoulli, il est question des équations différentielles particulières, de l’inégalité de Bernoulli, de la loi de Bernoulli, des nombres et polynômes de Bernoulli, du schéma de Bernoulli, de la loi de Bernoulli, et, etc.

Les Bernoulli étaient une famille de riches commerçants qui faisaient l’importation des épices de la Belgique, puis Nicolas Bernoulli s’exila en Suisse due à la situation de son pays.

Maintenant, parlons de Jacques, aussi appelé Jacob I dans certains documents. Il est le fils de Nicolas Bernoulli. Jacques se lance d’abord dans des études de théologie puis se dirige vers les mathématiques. En 1687, il commence à enseigner les mathématiques à l’Université de Bâle. Il emploie le calcul infinitésimal (calcul différentiel et intégral) dans plusieurs de ses problèmes et il est le premier à introduire le mot «intégrale». C’est aussi lui qui élabore les principes fondamentaux du calcul des permutations, des combinaisons et des probabilités (il systématise le calcul des probabilités, en énonçant des théorèmes prometteurs tels que l’additivité des probabilités). Puis, il laisse son nom à une équation différentielle :équation différentielle de Bernoulli (http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./e/eqpart.html) .

Le frère de Jacques, Jean ou Johann, était destiné à des études de commerce. Or, ce dernier désirait plutôt étudier les mathématiques. Il a donc fait des études de médecine! Mais sa passion pour les mathématiques était plus forte que tout, c’est pourquoi il finit par faire des études en mathématiques. En 1665, il enseigne les mathématiques aux Pays-Bas. Puis, il prend la place de son frère en tant que professeur de mathématiques à l’université de Bâle après la mort de ce dernier. On remarque, entre autres, son travail sur le calcul différentiel et intégral qu’il consacre à la résolution de problèmes géométriques et mécaniques. De plus, on dit qu’il est le premier à prouver la divergence de la série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n.

Enfin, il y a Daniel Bernoulli, le fils de Jean. Dans le domaine des sciences, on le nomme le fondateur de l’hydrodynamique grâce aux principes de base du comportement d’un fluide qu’il a découverts (http://fr.ca.encarta.msn.com/encyclopedia_761578780/fluides_m%C3%A9canique_des.html).

Daniel obtient son diplôme en médecine en 1721. Puis, en 1725, il devient lui aussi professeur de mathématiques, mais à l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. De plus, il enseigne l’anatomie et la botanique à l’université de Bâle. Il suit aussi les traces de sa famille en ayant un penchant pour le calcul infinitésimal, aux probabilités et aux équations différentielles. Sans oublier que c’est lui qui a, en quelque sorte, découvert le talent d’Euler.

Tout compte fait, il publie en 1738 sa plus grande œuvre : Hydrodynamic, document présentant la première théorie cinétique des gaz et formule le principe de conservation de l’énergie pour un fluide : principe de Bernoulli (http://fr.ca.encarta.msn.com/encyclopedia_761560121/Bernoulli_principe_de.html).


Il est aussi important de noter que tout n’était pas rose chez la famille Bernoulli et que leurs conflits quant à leurs découvertes scientifiques respectives sont aussi restés célèbres. Il y a eu jalousie, trahison et plus encore.


Sources et images:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bernoulli

http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=bernoulli

http://fr.ca.encarta.msn.com/encyclopedia_761572110/Bernoulli_famille.html

http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/2006/01/08/136-la-famille-bernoulli

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ed/node18.html


jeudi 14 février 2008

Questionnement sur les mayas

J'aimerais savoir s'il est exact qu'aucun grand mathématicien ni grand concept mathématique ne provienne de l'ère maya. Je n'ai trouvé aucune information à ce sujet. Faut-il donc conclure que la meilleure découverte pouvant être affiliée aux mathématiques et provenant des mayas est leur calendrier ultra précis?

Merci pour les précisions!

Spécification des évaluations

Bonjour tout le monde!

J'aimerais bien avoir des précisions sur quelques points.

1) Dans le plan de cours, il est inscrit que nous aurons un examen à réponses courtes portant sur les grands mathématiciens, les époques, etc. Est-ce que nous verrons du contenu lors d'une prochaine rencontre, se trouve-t-il dans les billets de tout le monde ou est-ce des choses que nous devrions déjà savoir??

2)Est-ce lors de notre exposé oral que nous devons remettre le rapport écrit?

3) Pour la participation et les échanges, il y a une note de 10% d'attribuée. Est-ce que cela devrait regrouper nos commentaires et questionnement sur le blog??

Merci beaucoup de m'éclairer!

mercredi 13 février 2008

Un peu plus sur la vie d’Euler


Tel que dit dans un billet précédent, Leonhard Euler est né en Suisse et il est décédé en Russie. Euler se fait initié aux mathématiques par son père et c’est à l’âge de 13 ans qu’il est admis à l’Université de Bâle afin d’étudier la philosophie et le droit. Il obtient d’ailleurs son diplôme en philosophie lorsqu’il est âgé de 16 ans. Or, son père aimerait plutôt qu’il devienne pasteur et l’incite à faire des études de théologie.

En 1727, Euler est convoqué à Saint-Pétersbourg par l’impératrice de la Russie, Catherine II, et ce, parce que Daniel et Nicolas Bernoulli avaient recommandé Euler à l’impératrice. Ces derniers avaient remarqué le talent d’Euler en lien avec les mathématiques.

Dès 1733, Euler remplace Daniel Bernoulli en tant que professeur et on lui confie la responsabilité du département de géographie en 1740. En 1741, le roi de Prusse, Frédéric II le Grand, invite Euler à Berlin afin que ce dernier se joigne à l’Académie de sciences, mais en vain. Euler et le roi de Prusse n’ont pas des tempéraments compatibles, c’est pourquoi le mathématicien retourne à Saint-Pétersbourg en 1766. Euler n’arrêtera pas de produire, malgré son handicap visuel et grâce à sa mémoire extraordinaire, ses fils et son valut lui serviront d’intermédiaire pour écrire son travail.

Enfin, Euler s’éteint à Saint-Pétersbourg (Russie) à l’âge de 76 ans.

Sources et images:
http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=417&IDD=0
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Euler.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euler.html

lundi 11 février 2008

La Révolution Française (1789)

Tel que mentionné dans mon premier billet, le déclenchement de la Révolution française se fait en 1789 après la convocation des États-Généraux. Or, pour répondre à une question qui m’a été posée, j’élaborerai davantage sur cette révolution, sur les causes et les conséquences de cette dernière.

D’abord, à cette période du siècle, la France compte une population de 26 M d’habitants qui est répartie de façon inégale en trois classes sociales. Il y a la noblesse où l’on retrouve 400 000 personnes et où l’on distingue la haute noblesse (environ 4000 familles relativement proches du trône) de la petite noblesse (les gentilshommes qui sont peu fortunés et la noblesse de robe qui s’occupe des tâches administratives). Par la suite, il y a le clergé qui se divise lui aussi en deux : le haut clergé (évêques, cardinaux et abbés) et le bas clergé (près du Tiers État). Cette classe sociale comptait environ 120 000 personnes. La dernière classe, mais non la moindre est celle du tiers état, qui représente 98 % de la population. On y retrouve la bourgeoisie (banquiers, hommes de droit, commerçants, enseignants, médecins), le petit peuple des villes (ouvriers, petits artisans et les sans emploi) et la paysannerie (travailleurs journaliers des campagnes et les paysans propriétaires fermiers).


La population est dirigée par Louis XVI, qui n’avait que 20 ans et qui n’avait point les qualités pour exécuter une telle tâche. Il déclara, en 1776, à Malesherbes qui était venu lui remettre sa démission : « Que vous êtes heureux ! Que ne puis-je aussi quitter ma place! ». Bref, son métier ne l’intéressait point. Or, le pouvoir du roi est sans limites, il fait ce qu’il veut avec ses ministres et il contrôle tous les membres du gouvernement central. Reste qu’on note certaines diversifications dans l’administration des provinces ce qui fait que certaines régions ou villes fonctionnent différemment. Le tout accentue le désordre et l’instabilité de l’administration française.


Passons maintenant aux choses sérieuses. En cette fin du XVIIIe siècle, c’est le mécontentement général. Le pays ne supporte plus de répondre de l’ordre ancien traditionnel, l’ordre féodal. Celui dont le roi exécute à la fois le rôle du chef militaire, du justicier et du protecteur du pays. Celui où la noblesse défend le pays avec son épée, le Clergé le soutient avec ses prières tandis que le peuple travaille et paie l’impôt.

Le tiers état n’en peut plus de tous les privilèges; les dispenses d’impôts, les droits de banalité, les droits de péage, les monopoles, les redevances diverses, tous ces avantages, toutes ces injustices outrent autant les paysans que les bourgeois. Les bourgeois sont ceux qui font vivre le peuple des villes, ils savent lire, écrire et parler. Ils sont d’avis que le royaume piétine. Ces derniers, qui prennent de plus en plus de place dans la vie économique du royaume, bouillent de colère, car ils ne disposent pas du prestige qui leur revient. Les paysans réclament d’être libérés des droits féodaux et des impôts trop accablants ainsi qu’un accès à la propriété. Le peuple des villes a énormément faim et énormément froid, les récoltes n’avaient pas été bonnes, les prix avaient subi une hausse drastique et les salaires avaient diminué. Dès lors, il n’était plus question de manifestations verbales, mais plutôt de troubles populaires. La bourgeoisie qui va prendre la tête de la Révolution peut compter sur les paysans affamés et sur le peuple des faubourgs.

En ce qui a trait au clergé, cette classe extrêmement riche ne paie pas d’impôt et se permet en plus, de soutirer la dîme sur les bénéfices agricoles. Autre fait, le clergé détourne des fonds de l’église à des fins personnelles. Mais encore, le bas clergé est pour l’évolution des choses donc en faveur du tiers état.

La noblesse, de son côté, ne démord pas de ses privilèges, essentiellement fiscaux, et cherche d'ailleurs à les renforcer. Elle veut aussi défendre sa position dominante dans la société.

Puis, les masses populaires se mobilisent et exigent la réunion des États Généraux. Pour répondre aux souhaits publics, Louis XVI acquiesce et la convocation des États Généraux est prévue pour le début du mois de mai 1789 à Versailles.


Les États Généraux

L’ouverture des États Généraux se fait le 5 mai 1789 à Versailles. Je ne vous raconterai pas tout ce qui s’est passé lors de cette rencontre, mais si vous désirez en savoir davantage, vous pouvez consulter le site suivant pour plus de renseignements : http://revolution.1789.free.fr/Cadre-page-2.htm.

Bref, après plusieurs journées de rencontres et de négociations entre les différents ordres et le roi de France, le clergé et la noblesse se joignent au Tiers le 27 juin. Puis, le 9 juillet, ce fut la fin de la monarchie absolue pour faire place à la monarchie constitutionnelle. On écrit alors : «La révolution est finie. Elle n’aura pas coûté une goutte de sang». Ce qui ne sera pas tout à fait le cas!


Prise de la Bastille

Un comité est organisé afin de discuter de la constitution (11 juillet). À ce moment, les députés se font du souci, car des troupes arrivent sur Paris et le peuple parisien commence à s’impatienter face aux difficultés d’approvisionnement. Puis, des groupes de manifestants arpentent la capitale. La journée du 13 juillet fut une journée de pillage et d'incendie : l'anarchie s'installait dans la capitale. Le 14 juillet 1789, la population parisienne attaque la forteresse de la Bastille (la prison royale). La prise de la Bastille marque l'effondrement du pouvoir royal partout en France. Dans la folle nuit du 4 août, c'est toute la société de l'ancien régime, basée sur des privilèges et des ordres distincts, qui s'écroule. Le lendemain matin, une trentaine de décrets avaient été votés. C’est alors que la nation a connu le plus étonnant des bouleversements sociaux, puis restait à reconstruire un ordre nouveau.

C'est le 11 août que l’Assemblée acceptait les décisions prises durant la nuit du 4 août. C’est alors que le servage, le droit de chasse et les justices seigneuriales ont été abolis, et ce, sans compensation. De plus, ce décret abolit la féodalité, il annonça à grands fracas l'égalité civile et fiscale, l'abolition des privilèges et de la corruption des charges. Enfin, on verra la Déclaration des droits de l'homme et du citoyen voir le jour.

Voilà, c’était ma leçon sur la Révolution française de 1789!


Sources et images:
http://francehistoire.free.fr/epoque/avant1789.html
http://revolution.1789.free.fr/Cadre-page-0.htm
http://www.csupomona.edu/~lfucaloro/fl308/notes/18e_histoire2.html

mercredi 6 février 2008

Le boulier

Les Chinois avaient recours à une machine à calculer semblable à l'abaque romain, le boulier. Le boulier chinois a une longue histoire. Sa forme actuelle procède de l'évolution de l'antique chou suan, un système de calcul où l'on utilisait de petits jetons en bambou. D'après l'ouvrage le plus ancien, le boulier chinois aurait fait apparition dès 770 avant Jésus-Christ.
Voici comment illustrer les chiffres de 1 à 10 sur un boulier chinois:

Voici comment additionner 43 + 96 en 4 étapes:






Sources : http://www.jlsigrist.com/






Les inventions françaises du XVIIe siècle

Il y a quatre grandes inventions qui ont fait une apparition marquante au 17e siècle. Il y a la transfusion sanguine, la machine à additionner, la balance à plateau ainsi que le principe d’une machine à vapeur à piston.

Transfusion sanguine

L’histoire de la transfusion sanguine est assez ancienne puisque dans un certain traité ainsi que dans l’histoire égyptienne, on en fait mention. Un pape a déjà aurait essayé, au 15e siècle, à plusieurs reprises de recevoir une transfusion. Dans son cas, on utilisait du sang animal. Ce pape a même bu le sang de trois jeunes enfants à raison de trois fois par jour. Les enfants en sont morts et le pape aussi, peu de temps après. C’est seulement en 1667 qu’un médecin français du nom de Jean-Baptiste Denis (qui était le médecin de Louis XIV) qui a été le premier à injecter du sang d’agneau à un homme. Cet homme est mort peu de temps après la transfusion. Cette même année, Denis et un confrère ont effectué la première transfusion sanguine d’homme à homme. Ces derniers étaient reliés par l’artère de l’un et la veine de l’autre. L’année suivante, le tribunal français ordonne que les transfusions sanguines doivent être effectuées seulement par un médecin. Ce médecin doit avoir, au moins, une expérience de transfusion avec un animal. Dans les siècles qui ont suivi, la méthode de transfusion s’est nettement améliorée.

La machine à additionner

En 1642, Blaise Pascal invente la toute première machine à additionner, la Pascaline. C’est un boîtier qui est composé de rouages qui représentent les chiffres de 0 à 9. Chaque roue représente une colonne décimale. La Pascaline était capable d’additionner, de soustraire et de convertir certaines monnaies de l’époque. Son système de rouage s’est répandu à travers le monde.





En 1673 Leibniz (le rival de Newton dans le calcul intégral) s’est mis à réfléchir à une façon d’améliorer la Pascaline. C’est seulement 21 ans plus tard qu’il a conçu un premier modèle permettant de faire tout ce que la Pascaline faisait, en plus d’effectuer mécaniquement les divisions. Ce modèle s’est fait attendre longtemps, car les pièces nécessaires pour son fonctionnement étaient difficiles à fabriquer.

L’évolution de la machine à calculer a suivi son cours et c’est seulement en 1972, que la première machine à calculer que l’on appelle maintenant calculatrice est arrivée. Ça ne fait pas si longtemps que cela que la calculatrice que l’on connaît aujourd’hui est arrivée!




La balance à plateau

La balance à plateau a été inventée par Gilles Personne de Roberval. C’était un enseignant qui travaillait dans un collège prestigieux et dont les cours de mathématiques étaient très populaires auprès des élèves. En 1666, il accède à l’Académie royale des sciences et trois ans plus tard, c’est là qu’il présente son projet de balance. Cette dernière est enfermée dans une caisse de bois d’où sortent deux tiges qui supportent des plateaux. Son invention est basée sur le principe d’un parallélogramme qui peut être déformé à cause de ses articulations en laissant toujours les plateaux à l’horizontal. Roberval a innové en plaçant les plateaux au-dessus du fléau alors qu’on les avait toujours placés en-dessous.


La machine à vapeur à piston

C’est Denis Papin qui a pensé à la création de cette machine. Il est diplômé en médecine, mais il a un intérêt prononcé pour la physique. Il travaille auprès de personnalités marquantes dans le domaine des sciences, entre autres Leibniz. Il travaille surtout sur le vide à ce moment-là. En 1688, il commence à s’intéresser plus aux mathématiques et à la pneumatique. En 1690, Papin a eu l’idée de condenser de l’eau pour créer un vide parfait. Son appareil expérimental est de forme cylindrique. Ce cylindre/piston de quatre centimètres de diamètre. Dans ce cylindre, il met de l’eau, puis il le place sur le feu. Le tout finit par soulever un poids de soixante livres. Un cran d’arrêt avait maintenu le piston en haut après la création de la vapeur. Il suffit de relâcher le piston après le refroidissement pour déclencher toute la force de la pression atmosphérique, d’une façon régulière. Ceci a été la première étape de la création de la machine à vapeur moderne.


Références:
www.wikipedia.org
http://clgdrouyn.fr/Histoire-de-la-calculatrice.html

La philosophie chez les Grecs

Ses origines

La tradition veut que le premier philosophe grec soit Thalès de Milet. Ce dernier ainsi que d'autres philosophes, s'appuyant sur les études astronomiques et mathématiques, s'intéressent à tout ce qui concerne la nature de l'univers, qu'ils ont nommée le cosmos.

Thalès, en quête d'une explication raisonnable de la formation du monde, a réfléchi longuement et il conclut que l'eau est la substance originelle ou l'élément générateur de tout ce qui existe dans l'univers. De cette conclusion, il refuse toute explication fondée sur des causes divines et il appuie son point en insistant que toute chose dans la nature doit être expliquée par des causes naturelles.

Un autre philosophe connu, Pythagore, explique l'univers comme étant fondé sur des relations numériques et qu'il peut être compris, décrit et mesuré par les mathématiques. Dans la même lignée, Parménide applique à la philosophie de Pythagore et il avance qu'un raisonnement philosophique doit être logique pour être vrai, donc sans contradictions.

Démocrite (460-370 av. J.-C.) part des idées de Parménide et élabore sa pensée en développant davantage sa logique. Il propose une description de l'univers unissant à la fois logique et mathématique. En reprenant tous les grands principes des premiers philosophes et en les combinant, il prétend que l'univers est constitué d'un nombre infini d'atomes qui flottent sans fin dans un espace vide. Finalement, sa théorie atomique dit que toute chose est formée par la collision et la combinaison d'atomes. Il y avait alors une certaine vision de ce que les scientifiques de nos jours appellent le "Big Bang".
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Les sophistes

Les deux principaux représentants sont Protagoras, venu de Thrace (480-408) et Gorgias, de Sicile (487-380). La pensée philosophique n’est plus fondée sur la construction du cosmos, expliquant l’univers : les sophistes mettent l’homme au centre de leur réflexion. Ainsi Protagoras peut dire : « L’homme est la mesure de toutes choses. », c’est-à-dire que la connaissance et l’expérience du monde dépendent des individus et varient avec leur jugement. Donc la véritable connaissance des choses se révèle impossible. Il ne s’agit pas pour eux de rechercher une vérité essentielle, mais ce qui peut en avoir l’apparence par le raisonnement. Cette conception débouche sur un relativisme de pensée, dont un versant est l’humanisme et l’autre le scepticisme.
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Les philosophes socratiques
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Socrate, n’ayant rien écrit sur sa pensée et sa vie, il n'est connu qu’à travers les œuvres de trois auteurs. Comme les sophistes, Socrate se détourne de la recherche sur la construction de l’Univers, la jugeant inutile : son intérêt se porte sur le seul objet d’étude qui soit à la portée de l’esprit humain : l’homme, c’est-à-dire la nature humaine en général et l’être humain en particulier. Sa méthode d’investigation est celle d’un incessant questionneur, passant au crible de l’interrogation toutes les habitudes de pensée ; mettant ainsi son interlocuteur face à ses contradictions et ses limites et lui montrant que la vraie sagesse consiste à reconnaître dans un premier temps son ignorance.
Platon était davantage promis à une carrière politique qu’à la recherche philosophique. Ce fut la rencontre avec Socrate, lors de sa vingtième année, qui, semble-t-il, décida définitivement de l’orientation de sa vie. Grande figure philosophique, avec Aristote, du IV° siècle, Platon est un théoricien, contrairement à son admirable maître. Peut-être suspect comme disciple de Socrate qu’il avait suivi pendant huit ans, en tout cas bouleversé par sa mort, il quitta Athènes en –395 et n’y revint qu’en –387 pour y fonder dans le jardin de l’Académie une école où en même temps que la philosophie étaient enseignées les disciplines fondamentales, dont la mathématique.
Aristote est né en Thrace en -384. Tôt dans sa vie, il a développé le goût pour les sciences concrètes. Mais c’est à Athènes qu’il décida de parfaire son éducation en suivant pendant vingt ans l’enseignement de Platon. Il devient un de ses élèves préférés et montra un goût profond pour l’acquisition de vastes connaissances, à tel point que Platon le surnommait « le liseur » et lui confia plus tard l’enseignement de la rhétorique. Aristote fut profondément influencé par la philosophie de Platon et son système se définit par rapport à celui de Platon, y compris dans ses oppositions, car les deux hommes avaient des tempéraments et des démarches opposés. Son œuvre était importante, mais les traités destinés à la publication sont perdus ; il ne nous reste que les notes de cours et les exposés à usage interne. Cela explique la difficulté pour connaître l’œuvre véritable d’Aristote. Ce dernier, de tempérament pragmatique, essaya de classer et de décrire rigoureusement tous les champs de la connaissance, inaugurant ainsi la démarche encyclopédique. Chose nouvelle dans l’histoire des connaissances, il distingue nettement les différentes sciences jusque là confondues dans la philosophie.
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Références
Travis Hanes III, W. 1997: Civilisation occidentale. Continuité et changements, Éditions Études Vivantes, Laval, Québec.

Mathématiques Moyen Âge (suite)

Au 11e siècle, l’indien Bhāskara introduisit certains éléments du calcul différentiel, dont des calculs de nombres dérivés comme pour la fonction sinus en particulier, la propriété d’annulation de la dérivée en un extremum de même que la première version du théorème de Rolle.

Au 14e siècle, Madhava est le premier à faire un passage à la limite. Il travaille aussi sur les fractions continuées et le nombre pi. Finalement, il fonde une école de mathématiques, Kerala, ce qui lui vaut la mention par certains esprits de père de l’analyse moderne.

Deux théorèmes intéressants en géométrie



Voici deux théorèmes intéressants que le Français Girard Desargues (1591-1661) a démontrés en géométrie. Cet homme était un architecte et un ingénieur militaire.

Théorème de Desargues :

Si deux triangles ABC et A'B'C' (six points distincts) ont leurs côtés homologues respectivement parallèles : (AB)//(A'B'), (BC)//(B'C'), (CA)//(C'A') alors les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes ou parallèles.



Théorème des triangles homologiques :


Si deux triangles ABC et A'B'C' (six points distincts) sont tels que les droites (AA '), (BB ') et (CC ') concourent en un point M, alors les supports des côtés homologues sont sécants deux à deux en des points alignés u, v et w (et la réciproque de ce résultat est vraie).

La Préhistoire : défense d’y voir !

La Préhistoire : défense d’y voir !

Nous avons tous l’image d’un homme des cavernes, barbare, primaire, ne faisant que chasser et se battre. Nous ne savons pas précisément quand sont apparus précisément le langage, la métaphysique et les mathématiques mais ils viennent probablement de l’Homo Sapiens voire d’encore avant.

L’homme primitif a dû d’abord distinguer l’unité et la pluralité (nuance entre un et des). Il a ensuite acquis la notion de paire (deux bras, deux mains, deux pieds, deux yeux, etc...). Ceci a dû l’amener à la notion de "correspondance un à un" (entailles sur les os).

On a retrouvé en Europe des os et des bouts de bois entaillés qui datent parfois de 35000 ans avant JC. L'homme qui, il y a 20000 ans, a fait 55 encoches sur l'os de loup retrouvé en Tchécoslovaquie était déjà un bon calculateur. C'était peut-être un chasseur qui dénombrait des bisons ou un berger qui comptait ses moutons.


Cet os qu’on appelle l' Os d'Ishango, aussi appelé Bâton d'Ishango, daté de près de 23 000 ans avant notre ère, semble être la plus ancienne attestation de la pratique de l'arithmétique dans l'histoire de l'humanité.

Les entailles présentes sur cet os furent interprétées, selon les auteurs, comme une calculette préhistorique, un calendrier lunaire

Il a aussi adopté, pour dénombrer, l’alignement ou l’entassement de cailloux. Le caillou se dit calculi en latin, le mot calcul a ainsi pris naissance dans l’entassement des cailloux. On utilisait aussi à cette époque des coquillages et des osselets.

Certaines tribus ont fait appel à diverses parties du corps pour compter. D’autres ont désigné des objets qui représentaient certains nombres. La main, avec ses cinq doigts, fut alors la première machine à calculer. Dans le monde entier, les hommes se sont servis des doigts de leurs mains (et parfois de leurs pieds aussi) pour compter. En Inde et en Russie, on fait encore des multiplications sur les doigts.

Mesures de longueurs / aires / volumes / calendrier lunaire
Unités de mesure : corps humain
Volume : panier
Géométrie : peintures et motifs dessinés
Astronomie : Certaines connaissances relatives au soleil, à la lune, aux étoiles ; calendrier lunaire
Influences religieuses
Activités économiques : commerce, agriculture

La société préhistorique a senti le besoin d'inventer un calendrier afin de différencier les aspects changements de la végétation et de posséder des unités de temps utiles et convenables.

Notre système décimal est dû à l’utilisation des dix doigts de nos mains. On pense que les premiers hommes ont développé le concept du nombre et des systèmes de numération qui permettent d’effectuer certaines opérations sur les entiers naturels. Ils ont commencé à mesurer des longueurs.
Bibliographie:

John Wallis (1616-1703)




John Wallis étudiait la philosophie et les langues anciennes à l’Université Cambridge. En 1640, il est ordonné prêtre et c’est alors qu’il se tourne vers les mathématiques. Ses travaux portent sur la géométrie analytique (les coniques) et sur le calcul infinitésimal. Il a aussi travaillé sur ce qu’on appelle aujourd’hui les suites numériques. Ce sont ses travaux qui ont donné le coup d’envol à Newton et Leibniz sur le calcul infinitésimal. Ces deux derniers en ont fait le calcul différentiel et intégral moderne.

Dans son traité sur les coniques, Wallis fait l’étude complète des coniques qu’il définit comme une courbe algébrique du second degré. Il a dégagé les équations suivantes :

-Parabole : y^2 = px
-Hyperbole : (a^2)(y^2) = px ± (b^2)(x^2)

Dans ce même traité, il a introduit le symbole de l’infini, le « 8 » couché, que l’on utilise encore aujourd’hui. De plus, il utilisait les exposants fractionnaires et négatifs que Newton a rendus obligatoires. Il est souvent l’origine ou l’inspiration des découvertes de Newton.

Dans son traité d’arithmétique, il a découvert la formule suivante qui permet d’intégrer assez facilement :





Toutes ses œuvres ont été publiées entre 1697 et 1699.

La carré magique

Le carré magique remonte à plus de 2000 ans avant Jésus-Christ. Son origine semble nous venir des Chinois ou des Indiens. Les plus grands mathématiciens comme Fermat et Euler ont étudié les carrés magiques. Voici les principales règles. Il s'agit de placer n2 entiers naturels distincts afin que la somme des entiers trouvés en ligne, en colonne et dans les deux diagonales soit toujours la même (c'est la constante du carré, n en est l'ordre). Si la somme des diagonales diffère de la somme des lignes et colonnes, le carré est dit semi-magique.



Voici un exemple:


Ligne 1 : 6 + 7 + 2 = 15

Ligne 2 : 1 + 5 + 9 = 15

Ligne 3 : 8 + 3 + 4 = 15

Colonne 1 : 6 + 1 + 8 = 15

Colonne 2 : 7 + 5 + 3 = 15

Colonne 3 : 2 + 9 + 4 = 15

Diagonale gauche : 6 + 5 + 4 = 15

Diagonale droite : 2 + 5 + 8 = 15

On dit que la constante du carré est de 15.

Sources : http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_magique_%28math%C3%A9matiques%29

Liu Hui

Ce mathématicien chinois commenta et compléta un ancien ouvrage de mathématiques chinoises, le Chiu-chang Suan-shu : « l'art mathématique en neuf chapitres ». On y trouve différents problèmes d'algèbre résolus au moyen de systèmes d'équations.
Concernant le cercle, Liu Hui donne l'excellente approximation 3,14159 du rapport L/d de la circonférence L d'un cercle à son diamètre d.

Mathématiques Moyen Âge

C'est au Moyen Âge qu'il y a l'expansion des nombres. Avec l'arrivée des commerces et des banques, les gens appliquent davantage l’algèbre et aussi l’usage des nombres irrationnels. Ces mathématiques vont commencer en Orient pour se transmettre en Europe par la suite. À cette période, on accepte maintenant les solutions négatives dans des problèmes, ce qu’on ne faisait pas avant. Finalement, c’est un peu après le moyen âge que l’on va prendre en considération les quantités complexes. Celles-ci vont permettre de mettre en évidence des solutions réelles de certaines équations du 3e degré.

La mesure

Les Chinois de l'Antiquité avaient développé une excellente intuition géométrique pour résoudre des problèmes. Un important ouvrage chinois écrit autour du 1er siècle, intitulé Les neuf chapitres, consacre son premier chapitre à 38 problèmes autour du calcul des surfaces de champs de formes variées. Kiyosi Yabuuti cite l'exemple suivant tiré de cet ouvrage : « Soit un champ circulaire : sa circonférence étant de 30 pas, son diamètre de 10 pas, quelle est la surface du champ? Et la réponse fournie est de 75 pas. La procédure de résolution dit de multiplier la demi-circonférence et le demi-diamètre pour obtenir le produit en pas. » Les Chinois calculaient l'aire des figures planes en assemblant des petits carrés à l'aide d'un quadrillage. Pour ce qui est des solides, ils les décomposaient en plus petits solides de volume connu ou encore évaluaient le nombre de petits cubes qui composaient le solide. Il est intéressant de signaler la similitude entre ces méthodes et celles de l'enseignement moderne, notamment le recours au cube-unité dans la comparaison de mesures de volume.
Sources : Enseigner les maths au primaire, L. Poirier, ERPI, 2001

Isaac Newton (1642-1727)

Isaac Newton a fait beaucoup de travail en physique. Il est à l’origine de la fameuse loi de la gravitation universelle. Il a aussi décomposé la lumière blanche et a été le constructeur du télescope à réflexion. Ses études ont également touché les lois de la thermodynamique. En plus de ses nombreuses contributions au monde de la physique, il a aussi occupé une place importante en mathématiques. Newton, avec Leibniz, peut être considéré comme le père du calcul différentiel et intégral grâce entre autres, à son ouvrage intitulé Méthodes des fluxions et des suites infinies, qui parut en 1671. Cependant, on ne parle pas encore de limite ou de dérivée. On s’intéresse davantage aux courbes planes, à leurs tangentes et leurs pentes, ce qu’il appelle la fluxion. L’approche de Newton est plus mécanique (géométrique) qu’analytique.

Formule du binôme de Newton (qu’on voit dans le cours d’analyse réelle :))












En poursuivant les travaux de Wallis, Newton a découvert la série du binôme. Plus tard, Euler en prouvera la convergence en utilisant x < align="center">

En 1670, Newton a commencé à travailler sur les fonctions sin, cos, tan et exponentielle. Cependant, les résultats qu’il a obtenus seront publiés beaucoup plus tard. Il faut dire aussi que Leibniz, son rival, est arrivé aux mêmes résultats que lui. Voici ce qu’ils ont trouvé :

  • sin x = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ...
  • cos x = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ...
  • tan x = x + x3/3 + 2x5/15 + 17x7/315 + ...


En algèbre, Newton a continué dans la même direction que Wallis et Descartes avant lui et il a modifié la notation algébrique des exposants. Il propose l’usage définitif, en 1676, de la notation suivante :

  • a^n , a^-n (pour 1/a^n)
  • a^(1/2) pour racine carrée de a

Aujourd’hui, nos ordinateurs utilisent encore les différences finies de Newton pour calculer des nombres dérivés (f^(n)) (xo)

Référence: www.chronomath.com

Les grands évènements de l'Antiquité grecque

Les dates entre parenthèses sont considérées av. J.-C.

  • Début de la culture de l’âge du bronze dans les Cyclades (vers 3000)
  • La civilisation minoenne se développe en Crète, où sont construits les premiers palais de Knossos et Phaistos (vers 2200)
  • L’écriture pictographique se développe et sera utilisé jusqu’en -1600 (vers 2000)
  • Apparition de l’écriture linéaire A qui n’a pas encore été déchiffrée (vers 1900)
  • Un séisme détruit les palais des Minoens, qui en reconstruisent de plus grands (vers 1700)
  • Les Mycéniens deviennent le peuple dominant en Grèce continentale (vers 1600)
  • La colonie minoenne de Théra est détruite par un séisme, suivi d’une explosion volcanique qui entraîne l’abandon total de l’île (vers 1500)
  • L’écriture idéogrammatique linéaire B (déchiffrée) est employée à Knossos. La plupart des palais et des centres crétois sont détruits. Les Mycéniens occupent Knossos (vers 1450)
  • Le palais de Knossos est incendié et abandonné, et ne sera jamais plus reconstruit (vers 1400)
  • La forteresse d’Athènes, qui prendra plus tard le nom d’Acropole, est entourée de murs défensifs à la fin de la période mycénienne (vers 1300)
  • La civilisation mycénienne s’éteint brutalement. La Grèce dans les Ages sombres, qui durent approximativement jusqu’au VIIIe siècle av. J.-C. (vers 1100)
  • Des colons grecs émigrent de la Grèce continentale sur les côtes de l’Asie mineure et dans les îles orientales de la mer Égée (vers 1000)
  • Selon la tradition, des jeux sportifs sont organisés pour la première fois dans le sanctuaire de Zeus, à l’Olympie (776)
  • Pendant la période archaique, Athènes et Sparte accroissent leur puissance (vers 750)
  • Corinthe fonde la ville de Syracuse en Sicile (733)
  • Sparte conquiert la Messénie et étend sa domination sur le Péloponnèse (715)
  • Sparte fonde la ville de Tarente dans le sud de l’Italie (706)
  • Delphes, avec l’oracle d’Appolon, devient un grand centre religieux (vers 650)
  • Solon introduit les premières réformes démocratiques à Athènes (594)
  • Le tyran Pisistrate s’empare du pouvoir à Athènes (540)
  • Après l’assassinat d’un des fils de Pisistrate et le départ en exil de l’autre, Clisthène pose les bases de la démocratie athénienne (510)
  • Les cités grecques de l’Asie Mineure se révoltent contre les Perses. Pour punir Athènes de les avoir aidées, Darios envoie une armée en Grèce, qui est vaincue à Marathon par les Athéniens (490)
  • Xernès tente une seconde invasion de la Grèce. D’abord vainqueurs aux Thermopyles, les Perses sont défaits sur mer à Salamine, puis sur terre à Platées (480)
  • Création de la Ligue de Délos, une alliance de cités grecques disposant d’un trésor commun en appliquant une politique extérieure identique, dominée par Athènes (476)
  • Naxos, qui voulait quitter la Ligue, y est maintenue de force par Athènes (471)
  • Naissance du philosophe athénien Socrate (469)
  • Début de la construction du Parthénon, sur l’Acropole d’Athènes, qui sera achevé 16 ans plus tard (448)
  • Périclès, élu par l’Assemblée du peuple à la tête du collège des généraux, dirige Athènes jusqu’à sa mort en –429 (443)
  • La guerre du Péloponnèse oppose Athènes à Sparte et à ses alliés (431-404)
  • Naissance de Platon (429)
  • Athènes est vaincue par Sparte, qui devient la plus puissante des cités-grecques (404)
  • Sparte et la Perse rompent leur alliance et entrent en guerre, en Asie Mineure (401)
  • Socrate, accusé de corrompre la jeunesse, est condamné à mort à Athènes (399)
  • Sparte est victorieuse de la coalition d’Athènes, Argos, Corinthe et Thèbes, qui se livrent ensuite des guerres incessantes pendant quatre ans (395)
  • Naissance su philosophe et savant Aristote (384)
  • La puissance de Sparte est détruite par les Thébains à la bataille de Leutres (371)
  • Philippe II monte sur le trône de Macédoine. En vingt ans, il étend sa domination du Danube à la mer Égée et de la côte adriatique à la mer Noire (359)
  • Philippe II inflige une défaite aux Grecs coalisés à Chéronée (338)
  • Après l’assassinat de Philippe, son fils Alexandre devient roi de Macédoine et prépare une expédition contre les Perses (336)
  • Accueilli comme un libérateur en Égypte, Alexandre crée la ville d’Alexandrie (332)
  • Alexandre détruit les armées du roi perse Darios III et s’empare de Babylone (331)
  • Alexandre meurt à Babylone (323)
  • La Macédoine et la Grèce sont annexées par Rome (146)
  • Athènes est saccagée par les Romains (86)

Référence

Revez, J. 2006: Histoire de l'Antiquité. Recueil de textes et de travaux de sessions. Université du Québec en Outaouais.

Pierre de Fermat (1601-1665)






Pierre de Fermat a accompli plusieurs choses au 17e siècle. En plus d’être mathématicien, il a été conseiller du roi au Parlement de Toulouse (cours de la justice) et il a aussi été un des fondateurs de l’Académie des Sciences.

Il a travaillé avec Blaise Pascal sur les probabilités. En s’inspirant de d’autres, il a écrit la théorie des nombres.

Le grand théorème de Fermat (1621) dit qu’un cube ne peut pas se décomposer en deux cubes, un carré en deux carrés de carré et plus généralement, aucune puissance ne peut se décomposer en deux puissances de même exposant.

En arithmétique, Fermat a prouvé que pour tout entier p premier de forme 4n + 1 est une somme de deux carrés. Il a aussi établi que pour un entier naturel, (x^3) - 2 = (n^2) implique que x = 3. Il est aussi à la base des cubes et des carrés magiques.

Une autre de ses grandes contributions a été le point de Fermat. Soit un triangle ABC. Si on trace des triangles équilatéraux avec chacun des côtés du triangle ABC, les droites en pointillés (AA’), (BB’) et (CC’) se croisent toutes en un point qui est le point de Fermat.








Fermat a aussi travaillé sur les spirales paraboliques et il en a dégagé l’équation suivante : r2 = at, où a est un réel non nul.



En 1637, il énonce un autre théorème dans un traité qui parlait des extremums. Ce théorème pourrait s’écrire de cette façon aujourd’hui :

Si une fonction numérique f dérivable sur]a, b [ admet un extremum en un point c de cet intervalle, alors f’(c) = 0

Il est important de mentionner que les œuvres de Fermat ont été éditées par son fils. Cependant, Fermat ne publiait pas tous ses ouvrages et encore moins ses démonstrations. On estime que beaucoup de ses travaux ont été perdus.

À l’Université Paul Sabatier de Toulouse, on remet un prix de Fermat, servant à souligner le travail de mathématiciens qui a été déterminant pour la connaissance des mathématiques. On le remet encore aujourd’hui.
référence: www.chronomath.com

Les mathématiques chez les Grecs

Thalès et Pythagore fondent la science mathématique au VIe siècle av. J.-C. chez les Grecs. Pendant près d’un millénaire, ces derniers accumuleront tout un savoir arithmétique et géométrique d’où il ne faut pas oublier la logique du philosophe Aristote. Ce n’est que vers 300 av. J.-C. qu’Euclide (photo) viendra mettre les pendules à l’heure en regroupant dans ses écrits (Éléments de la mathématique de son temps), toutes les mathématiques connues et démontrées. Cet encyclopédie ordonne toutes connaissances, mais surtout elle les enchaîne logiquement, en distinguant définitions, postulats et axiomes.

L’arithmétique de nos jours peut paraître simple de nos jours, mais il n’en était pas ainsi dans l’Antiquité grecque. Quoiqu’ils utilisaient des lettres pour leur système de numération, ce n’était pas le cas lorsqu’ils devaient effectuer des opérations arithmétiques. Ils utilisaient un système de traits pour représenter les nombres. Pour pratiquer à faire des calculs, ils avaient deux techniques : l’utilisation de leurs doigts ou des cailloux placés sur une planche, nommée abaque (photo ci-dessous). C’est en grande partie grâce aux commerçants de cette époque que la science mathématique s’est développée puisqu’ils devaient tenir une comptabilité considérée complexe à ce moment.


Les deux domaines de la mathématique grecque sont généralement l’arithmétique et la géométrie. Si l’arithmétique a pour origine le travail des commerçants, des comptables et des navigateurs, la géométrie a la sienne dans le travail des artistes, sculpteurs, peintres, céramistes, architectes, etc.

Pour ce qui est des différentes démonstrations que l’on retrouve habituellement dans les manuels d’histoire des mathématiques, l’utilisation de lettres pour représenter des mesures (algèbre) est un anachronisme. En fait, ce n’est qu’au XVIe siècle que les mathématiciens commencent à représenter les grandeurs par des lettres. Puisque les écrits des plus grands mathématiciens grecs n’ont jamais été trouvés, il est difficile, voire même impossible, de déterminer le langage mathématique utilisé pour démontrer leurs découvertes.

Chez les Grecs de l’Antiquité, les mathématiques ne sont plus considérés comme un simple passe-temps. Elles sont vues comme un intense sentiment de beauté qui caractérise l’être absolu ou indiscutable. Par exemple, les statues sont fabriquées selon les rapports entre la hauteur de celle-ci et la hauteur réelle de l’objet ou être à reproduire.

Dans nos écoles, nous entendons surtout parler de deux grands mathématiciens grecs : Thalès et Pythagore. Cependant, il en existe plusieurs autres. En voici quelques-uns. Oenopide de Chios a été celui qui a réussi tracer une perpendiculaire à une droite à l’aide d’un compas.Aussi, Hippocrate a contribué à la résolution de la quadrature du cercle (construction d’un carré dont l’aire est la même qu’un cercle donné). Il a aussi posé un problème de la duplication du cube et il ne sera finalement résolu qu’au XIXe siècle! Finalement, Eudoxe de Cnibe est celui qui a résolu le problème de la section d’or qui consiste à découper un segment de droite en section dite harmonieuse.

l
Références

Baudet, J. 2002: Nouvel abrégé d'histoire des mathématiques, Éditions Vuibert, Paris, France.

Blaise Pascal (1623-1662)




Blaise Pascal a lui aussi fait d’importants travaux au cours du 17e siècle. Il commence à travailler en science assez jeune. À 12 ans, il découvre et démontre des théorèmes de la géométrie euclidienne. Quatre ans plus tard, il publie un essai en latin qui traite des coniques. Il est inspiré par les travaux d’un autre mathématicien, Desargues. Par la suite, il a travaillé avec Fermat sur l’analyse combinatoire et le calcul de probabilités. Ils se sont concentrés sur les problèmes de jeux et l’espérance du gain (espérance mathématique). Ils ont découvert la formule de l’espérance mathématique :

E = Spixi ( S = sommation)


Cette formule calcule la moyenne des points xi pondérée par leur probabilité d’apparition pi.



Le triangle de Pascal est une autre découverte fort intéressante. Ce triangle permet de calculer facilement les combinaisons Cnp avec la formule suivante :

Pour tout n de N, Cn0 = Cnn = 1 et pour n et p non nuls avec p < cnp =" Cn-1p-1" color="#ff0000">raisonnement par récurrence. C’est une forme de raisonnement inductif qui était prôné par Poincaré et les intuitionnistes. La base de ce raisonnement est la suivante :

cas-- particulier-- cas général-- effet cause



Le travail de Pascal traite aussi des arrangements et le nombre d’injections avec la formule suivante :

Cnp = Anp / p! = n(n - 1)(n - 2)(...)(n - p + 1)/p!


La loi de Pascal ou loi géométrique

Cette loi a été énoncée par Pascal pour ensuite être utilisée dans la répétition d’épreuve de Bernoulli. Voici la règle :

Soit p un réel (0 < x =" k}" pk =" p(1">

Blaise Pascal a aussi travaillé en géométrie analytique. C’était un sujet assez intéressant pour les mathématiciens de ce siècle. C’est lui qui a introduit le vocabulaire abscisse et ordonnée en 1658. En étudiant le comportement d’une roulette (aujourd’hui cycloïde) dans le plan cartésien, Pascal annonce le calcul infinitésimal, qui est maintenant connu comme étant le calcul différentiel et intégral.



À partir de cela, Pascal a résolu le paradoxe des deux roues d’Aristote en affirmant ceci : Une roue de rayon r< R est fixée concentriquement à une roue de rayon R. Lorsque la grande roue fait un tour complet, il en est de même de la plus petite. En conséquence, tous les cercles ont même circonférence.

Conclusion

Bref, le vingtième siècle était surement le siècle de la technologie. Donc, c’est à partir des années 1950 que les progrès techniques ont fini vraiment par engendrer une nouvelle société, celle de la consommation de masse. L’apparition de l’ordinateur et les évènements du vingtième siècle ont bouleversé la mathématique, mais n’ont pas modifié le rôle du mathématicien.

René Descartes (1596-1650)





René Descartes a marqué la première moitié du 17e siècle dans plusieurs domaines différents. On reconnaît ses travaux en philosophie, en physique, en psychologie et en mathématiques. En mathématique, lorsqu’on parle de Descartes, on pense surtout à l’algèbre et à la géométrie. En effet, il a fait l’application des méthodes d’algèbre de Viète (mathématicien du siècle précédent) aux problèmes de la géométrie. Ces problèmes étaient presque sans changement depuis l’époque de l’Antiquité. Quand on dit qu’il a appliqué l’algèbre à la géométrie, on parle du plan cartésien. C’est lui, avec et indépendamment de Fermat, qui a découvert qu’on pouvait travailler avec des distances x sur une droite horizontale et y sur une droite verticale en rapport avec une équation. Le point d’intersection des droites étant l’origine. Cependant, on ne parle pas encore de coordonnées ni d’axes et on ne touche pas à la portion négative de ces derniers. Cet apport à la géométrie analytique est énorme. Il a aussi travaillé les courbes dans le plan cartésien. Il se sert beaucoup des mathématiques pour exercer et démontrer ses pensées et ses méthodes philosophiques dites cartésiennes.

C’est même la première personne à utiliser les dernières lettres de l’alphabet pour représenter des inconnus dans une équation mathématique. Voici les notations qu’il a établies :


  • x, y, z… pour les inconnus dans la résolution d’équations




  • a, b, c… pour les paramètres


  • l’exposant pour les puissances : x3 au lieu de xxx



Avant lui, on écrivait : 2xxx - 5xx alpha 6x – 3 et il a commencé à l’écrire sous la forme que l’on connaît aujourd’hui : 2x3 - 5x2 = 6x – 3.

Il travaille les polynômes et note que si un polynôme s’annule en un nombre c, alors il se factorise par x-c. Il travaille également avec les valeurs absolues des racines négatives d’une équation. Il nomme ces dernières de fausses solutions. Les racines positives sont donc pour lui les vraies solutions. Descartes a introduit le concept imaginaire pour définir des racines ni positives, ni négatives. Cependant, il n’a pas défini ce qu’est un nombre complexe de la forme .Le tout se passa en 1637.

Descartes est aussi lié à la formule de Descartes-Euler qui relie le nombre de faces, le nombre d’arêtes et le nombre de sommets d’un polyèdre convexe. On enseigne encore cette formule aux élèves de la troisième secondaire.

F + S - A = 2





La relation de Descartes est une formule de géométrie impliquant quatre points (A, B, C et D) et la division harmonique. Pour que C et D soient conjugués harmoniques de A et B, l’égalité suivante doit être respectée :










Références : http://www.chronomaht.com/
http://www.wikipedia.org/

Les sciences dans l'Antiquité grecque

La science, discipline qui observe et étudie la nature par logique, est née en Grèce. Plusieurs débats ont déjà eu lieu pour déterminer sa vraie origine. Qui de Thalès, Leucippe, Démocrite ou Aristote est à l'origine même de la science grecque? Personne ne le sait vraiment!

L'activité scientifique est apparue en Mésopotamie au même moment que l'écriture cunéiforme, soit au VIe siècle av. J.-C.

À terminer... mais je suis tanné là!

Les neuf chapitres



Les neuf chapitres sur l'art mathématique est un livre anonyme chinois de mathématiques, rédigé sous la dynastie Han, probablement au 1er siècle de notre ère, mais peut-être déjà en -200. Plus ancien texte chinois après le Suan shu shu, il est parvenu jusqu'à nous par le travail de copie des scribes et par impression. Il propose une approche des mathématiques qui se focalise sur la recherche de méthodes générales de résolution de problèmes.





Dans ce récit, nous en sommes venus à des conclusions plutôt audacieuses. Il s’est avéré que les textes de cet ouvrage comprenaient déjà des descriptions de procédures mathématiques comparables aux mises en forme d’algorithmes actuellement utilisés en informatique. On y trouve également des nombres irrationnels du type des racines de nombres entiers alors que l’on pensait que seuls les mathématiciens grecs de l’Antiquité avaient affronté ce type d’objets.


Voici le contenu des 9 chapitres :



Fang tian — Champs rectangulaire : Aires de champs de diverses formes (rectangles, trapèzes, triangles, sections circulaires) et la manipulation de fractions.

Su mi — Millet et riz : Échange de biens à différents tarifs, estimation, indéterminée.

Cui fen — Répartition proportionnelle : Répartition de biens et d'argent selon le principe de proportionnalité.

Shao guang — La moindre largeur : Division par divers nombres, l'extraction de racines carrées de racines cubiques, les dimensions, aire du cercle et volume de la sphère.

Shang gong — Réflexions sur les travaux : Volumes de solides de diverses formes.

Jun shu - Taxation équitable : problèmes plus complexes sur les proportions.

Ying bu zu — Excédent et déficit : Problèmes linéaires résolus en utilisant le principe connu plus tard en Occident sous le nom de Méthode de la fausse position.

Fang cheng - La disposition rectangulaire : Problèmes à plusieurs inconnues, résolus selon un principe similaire à l'élimination de Gauss.

Gou gu — Base et altitude : Problèmes faisant intervenir le principe connu en Occident sous le nom de Théorème de Pythagore.

Voici trois des six vidéos mettant en vedette Karine Chemla, chercheuse au laboratoire « Recherches en épistémologie et en histoire des sciences et des institutions scientifiques », REHSEIS (CNRS-Université Paris 7, Paris), qui explique ses découvertes et interprétations de ce fameux livre.














Pour visualiser les autres vidéos : http://www.dma.ens.fr/culturemath/video/9chapitres/tableindex.html

Sources :

http://www.dma.ens.fr/culturemath/video/9chapitres/tableindex.html

http://fr.wikipedia.org/wiki/Les_Neuf_Chapitres_sur_l%27art_math%C3%A9matique

Portrait du XVIIe siècle

Portrait du XVIIe siècle

Le XVIIe siècle couvre la période de 1601 à 1700. Durant cette période, l’Europe a connu plusieurs changements, en commençant par l’absolutisme royal. Il y a eu deux rois qui ont régné sur la France à cette époque : Louis XIII et son fils Louis XIV. Tous les deux ont commencé à régner assez jeunes. Louis XIII (1601-1643) accède au trône alors qu’il n’a que neuf ans. Comme il est trop jeune, le pouvoir est assuré par sa mère jusqu'à sa majorité en 1614. À ce moment-là, sa mère s’objecte à ce qu’il accède au pouvoir en disant qu’il est trop faible. Il a finalement commencé son règne de force en 1617. C’était un roi qui était très soucieux du bien-être de son peuple. Le roi Louis XIII était connu comme un roi-soldat, souvent sur les champs de bataille et il était très impliqué dans les œuvres de charité, entre autres avec Saint Vincent de Paul. Les gens étaient très inquiets, car pendant assez longtemps, il n’y avait pas de successeur mâle pour continuer à régner sur la France et le roi actuel n’avait pas une très bonne santé. Il meurt de la maladie de Crohn en 1643, à l’âge de 42 ans. Son fils Louis XIV accède donc au trône.

Pour sa part, le roi Louis XIV (1638-1715) est connu comme le Roi Soleil. Il accède au trône à l’âge de cinq ans, mais il commence à gouverner véritablement lors de la mort de son premier ministre en 1661. Il choisit de ne pas avoir un autre premier ministre et commence à exercer l’absolutisme. Il a gagné beaucoup de territoire et de puissance pour la France en participant à plusieurs guerres européennes. Il faut dire que depuis sa naissance, la France est continuellement en conflit avec l’Espagne. Il y a aussi eu la guerre de Tente Ans de 1618 à 1648. Cette guerre a commencé pour des raisons religieuses, mais a pris plusieurs tournures différentes pour finalement être une guerre politique entre la France et la Maison D’Autriche. La guerre de la Fronde a suivi peu de temps après (1648-1653). Cette dernière fut menée contre le roi de France par les grands du royaume et elle avait comme but de rétablir l’économie mal en point à cause de la guerre de Trente Ans. La guerre de la Dévolution (1667-1668) était un conflit entre l’Espagne et la France était une guerre de territoire à la suite de la mort du roi d’Espagne. Il y eut aussi la guerre de la Hollande (1672-1678) qui était une guerre de territoire, mais aussi une guerre qui avait pour but d’éliminer la concurrence entre les marchands et fabricants des deux pays. Par la suite, les Français ont participé à la guerre de la Ligue D’Augsbourg (guerre de Neuf Ans de 1688 à 1697), qui était une guerre à caractère religieux, car Louis XIV n’avait pas réussi à convaincre le pape de l’époque son candidat à titre d’archevêque. Finalement, Louis XIV était encore au pouvoir lors de la guerre de Succession d’Espagne (1701-1714), où l’enjeu était le trône d’Espagne.

Lors de son règne, il y eut en Europe, une grande émergence politique et militaire, mais aussi une grande émergence du point de vue culturel : littérature, peinture, écriture, philosophie, mathématiques, naissance d’académies, etc. La France connaît aussi à ce moment une grande expansion économique et commerciale. Bref, le XVII siècle était un siècle de changements et d’innovations en Europe.

Une autre grande œuvre du Roi Soleil fut la construction du château de Versailles. Il en a ordonné la construction afin qu’il puisse aller s’y retirer avec son épouse. Louis XIV est le roi qui a régné sur la France le plus longtemps, soit durant 72 ans.

Les fractions et les nombres décimaux

Les Chinois connaissaient les fractions et pouvaient les utiliser dans des opérations simples, car ils savaient trouver le plus petit dénominateur commun. Comme dans plusieurs autres domaines, ils faisaient intervenir le yin et le yan, le numérateur représentant le fils, et le dénominateur, la mère. Cette analogie leur permettait de mieux comprendre les règles de manipulation des fractions. Non seulement les Chinois connaissaient-ils les fractions, mais ils utilisaient également les nombres décimaux. L'introduction des mesures décimales leur a permis d'effectuer des opérations avec des nombres décimaux, et ce, dès le XIVe siècle.
Source : Ensiengner les math au primaire, L. Poirier, ERPI, 2001

mardi 5 février 2008

La période minoenne (-2700 à -1550)

*Puisque l'Antiquité grecque regroupe plusieurs périodes et que le but du travail n'est pas d'élaborer toute l'histoire dans ses détails, je vous offre donc un billet sur une des périodes.*

Cette période a été nommée en honneur à Minos, roi légendaire de Crête. Les Minoens étaient, semble-t-il, une civilisation non guerrière. Par contre, ils étaient perçus comme des commerçants qui exploitaient le transport maritime pour vendre l'étain qui est utilisé pour fabriquer le bronze. Le déclin de cette civilisation semble relié à l'utilisation des outils de bronze qui servaient à la création d'armes. Les Minoens utilisaient une écriture particulière, le linéaire A, qui demeure encore indéchiffrable de nos jours. Dû à cette barrière de l'histoire, il est pratiquement impossible de confirmer à 100% l'exactitude de leur déclin...

Plusieurs théories ont été avancées avec le temps. Certains affirment que la famine a touché toute la civilisation à cause de l'effondrement du commerce maritime. Aussi, il semblerait que le fer est venu remplacer le bronze et que les Minoens ne trouvaient plus d'acheteurs pour leur étain, ce qui serait également une cause au déclin. Aussi, certains historiens croient que l'éruption d'un volcan aurait causé des raz-de-marées et des pluies de cendres, donc le territoire n'était plus vivable. La dernière théorie raconte l'invasion mycéenne suite à l'éruption du volcan et ceci aurait mené à la chute de la civilisation minoenne.

Les palais

Les palais auraient été le siège du pouvoir politique, économique et religieux de la société minoenne. Parmi tous les palais ayant été construits dans cette période, seulement quatre ont été retrouvés: Knossos (photo), Phaistos, Malia et Zakros. Ces palais servait également au développement des techniques agricoles et artisanales de la société crétoise. C'était en fait un lieu de rassemblement où on y faisait des échanges de denrées et d'artisanat. C'est aussi le lieu où l'écriture et la comptabilité aurait vu le jour. Au cours de la période minoenne, les palais auraient été détruits et reconstruits. Encore plusieurs théories ont été spéculées à ce sujet: des tremblements de terre possibles, une révolte contre le pouvoir en place et une invasion, peu probables selon plusieurs, de populations extérieures.

La religion minoenne


La religion de cette époque ne semble pas avoir fait référence aux différentes divinités que l'on associe aujourd'hui aux Grecs; ils avaient leurs propres divinités. Les historiens savent que les séances religieuses avaient lieu en plein air ou dans des grottes, et que les offrandes faites à leurs divinités consistaient en de petites statues représentant l'image féminine. Ces statuettes sont maintenant connues sous le nom de "déesses aux serpents". Dans les grottes, des cendres de victimes animales ont été retrouvées. Ce qui était apparemment lié à des rituels sacrificiels.





L'agriculture
Répartie dans les centres urbains et également à la campagne, les Minoens élevaient des vaches, des moutons, des cochons et des chèvres. Ils cultivaient du blé, de l'orge, de la vesce, du pois chiche, des figues, des olives et des raisins. Des charrues en bois traînées par des paires d'ânes ou des bœufs étaient le moyen principal des agriculteurs pour arriver à vivre des trésors de la terre.




Références

http://fr.wikipedia.org/wiki/Civilisation_minoenne

http://www.decouvrirlacrete.com/tourisme-crete/crete-minoenne.php

http://fr.wikipedia.org/wiki/Civilisation_minoenne








Leonhard Euler (suite)

Encore une fois, dans son traité « Introductio in Analysin infinitorum », publié en 1748, Euler effectue une synthèse considérable des connaissances liées aux fonctions trigonométriques, logarithmes et exponentielles en apposant que si y = ax (fonction exponentielle de base a, a > 0, a ≠1) alors x est le logarithme de y dans la base a :

y = ax x = logay


Dans le même traité, Euler fixe les fondements de l’analyse mathématique et de la mécanique analytique. Il établit la fameuse constante γ (gamma), qui porte aujourd’hui son nom :

γ = 0,57721566490153286060…

La série 1 + 1/2 + 1/3 +... +1/n + ... est la série harmonique.

On dit que sa nature est un problème ouvert, puisqu’on ne sait pas si c’est un nombre rationnel ou irrationnel. Aujourd’hui près de 108 000 000 décimales de ce nombre sont connues.

Euler établit une formule liant 0, 1, e, et i : e + 1 = 0, nommé l’identité d’Euler ou la formule d’Euler. Certains scientifiques l’ont appelé la « formule la plus remarquable du monde ». Il élabore une seconde formule mettant en relation la trigonométrie, l’exponentielle et l’analyse complexe :



Pour plus d'explications sur ces deux formules, je vous invite à consulter les sites suivant pour en savoir plus:


http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27Euler
http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_d%27Euler
http://serge.mehl.free.fr/anx/expo_euler.html

La formule d'Euler fut prouvée pour la première fois par Roger Cotes en 1714, puis démontrée à nouveau et popularisée par Euler (1748). Il est amusant de prendre en note qu'aucun de ces deux hommes ne vit l'interprétation géométrique de cette formule : le point de vue géométrique des nombres complexes considérés comme affixes de points du plan n'apparut qu’une cinquantaine d’années plus tard.





Sources:

http://serge.mehl.free.fr/anx/expo_euler.html
http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=417&IDD=0

Un grand mathématicien: Leonhard Euler


Un des plus grands mathématiciens du XVIIIe siècle est, sans contredit, Leonhard Euler.
Euler était un mathématicien et un physicien suisse, il fut l’élève de Jean Bernouilli (1667-1748). Il est né en 1707 en suisse et il est décédé en Russie en 1783. Ce dernier a produit près de la moitié de son travail lors des dix-sept dernières années de sa vie, et ce, en étant complètement aveugle. Il eut treize enfants, seulement cinq ont survécu et trois d’entre eux suivirent ses traces; Jean-Albert (1734-1800), Charles (1740-1790) et Christophe (1743-1812).


L’œuvre d’Euler s’étend de l’arithmétique à la géométrie différentielle en passant par l'analyse numérique et fonctionnelle, le calcul des variations, les courbes et les surfaces algébriques, le calcul des probabilités et les premiers aspects de la théorie des graphes et de la topologie.

Euler est le fondateur de l’analyse fonctionnelle, car c’est lui qui nous a donné une définition précise de la notion de fonction. C’est à lui que revient la notation f(x) pour désigner l’image d’un nombre x par une fonction f.

C’est aussi à Euler que nous devons le symbole de sommation, étant la lettre grecque Σ. Ce dernier trouvait que d’écrire 1 + 2 + 3 + … + 1000 était trop long, c’est pourquoi il a introduit cette notation :

De plus, Euler assoit de façon définitive, l’usage du nombre pi (), de la lettre i pour la racine carrée de -1, le e (base des logarithmes népériens).


Revenons sur la notion de la lettre i, pour la racine carrée de -1. Cette notation apparait, plus précisément en 1777, avec la théorie des nombres complexes d’Euler. Or, comment calculer la racine carrée d’un nombre négatif ? est le nombre qui élevé au carré est égal à -1. Cependant, nous savons bien qu’un carré ne peut pas être négatif. Certes ! La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas …dans le monde réel … dans l’univers des réels, des nombres réels … ceux de l'ensemble IR. Mais en allant plus loin dans le "monde imaginaire" des mathématiques, la racine carrée d’un nombre négatif « existe » et en particulier celle de -1. On la note i. Elle fait partie de l’ensemble des nombres imaginaires. Ainsi le nombre i est défini comme suit :

i est le nombre dont le carré est -1,

algébriquement : i2 = -1 ou encore i = .


En ce qui a trait au e, Euler est le premier mathématicien à s’intéresser, de façon sérieuse, à ce nombre. C’est à lui que nous devons le nom de ce nombre car c’est la première lettre du mot exponentiel. Certaines sources mentionnent que le e est aussi pour la première lettre du nom d’Euler…
La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction réciproque du logarithme népérien. Donc, si ln(x) = y alors x = exp(y).
Or exp(1) est égal à e.

Dans « Introductio in Analysin infinitorum » (1748), il explique que : e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
Nous savons que 5! se lit "factoriel 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5.
Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes.


soit : e = 2,7182818284590452353...

C’est aussi Euler qui a fait la démonstration de l’irrationalité de e.


Sources:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Euler.html#sol1

http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=358&IDD=0


Images:

http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=358&IDD=0