mardi 4 mars 2008

L'histoire de la géométrie analytique

René Descartes (1596-1650) philosophe et mathématicien

René Descartes est généralement connu pour son œuvre philosophique, son nom étant d'ailleurs associé populairement à une certaine idée de l'esprit français. Toutefois, ce fut aussi un grand mathématicien. L'apport principal de Descartes dans ce domaine est la numérisation de la géométrie. En collaboration avec Pierre Fermat (1601-1665), il a mis au point la méthode des coordonnées qui permet d'effectuer facilement des démonstrations de géométrie. Par le choix d'une unité de longueur, il identifie la demi-droite avec l'ensemble des nombres réels positifs. Descartes préféra le premier les lettres du début de l'alphabet a, b, c, d... pour les nombres connus (paramètres) et celles de la fin pour les inconnues x, y, z. C'est l'usage qui s'est imposé. Descartes a systématisé la notation des exposants xn quoiqu'il utilise souvent xx au lieu de x2. Il a aussi innové en utilisant le mot fonction pour f(x) = xn.

Contributions aux mathématiques

En mathématiques, Descartes a réformé le système des notations. Les signes en usage étaient alors les signes complexes, tirés des alphabets grec et hébreu, signes malaisément maniables. Descartes ne se sert plus - sauf en ses tout premiers écrits - que des lettres de l'alphabet latin, des signes des quatre opérations arithmétiques et de la racine carrée ou cubique. Il désigne d'abord les quantités connues par les lettres minuscules, les quantités inconnues par les lettres majuscules. Mais, en 1637, il remplace ces majuscules par les dernières lettres de l'alphabet : x, y et z. Il invente aussi une méthode pour abaisser le degré des équations.

Mais la grande découverte mathématique de Descartes est celle de la géométrie analytique. Au reste, loin d'accorder à celle-ci toute l'importance que nous y attachons aujourd'hui, Descartes y voit une simple présentation algébrique de la géométrie des anciens. Seulement attentif à trouver une correspondance commode entre l'équation et la courbe géométrique, il n'expose, en sa Géométrie, le principe de sa méthode qu'en une phrase très courte, et passe tout de suite à l'examen de problèmes spécifiés. En tout cela, tendant à l'utile, il semble moins soucieux d'une véritable rationalisation des mathématiques que de la découverte de procédés permettant à la pensée des opérations plus aisées.

La géométrie analytique – origines

Il est assez habituel de considérer que la géométrie analytique a été créée par Descartes. En réalité, cette vue est trop simple. Si la « géométrie analytique » est prise au sens moderne de l'expression, celle de Descartes en était encore assez éloignée. D'autre part, plusieurs éléments caractéristiques de la géométrie analytique avaient été formulés avant Descartes.

La géométrie analytique paraît consister dans l'association de trois facteurs : l'expression d'une réalité géométrique par une relation entre des quantités variables, l'usage des coordonnées, le principe de la représentation graphique. Or, si chacun de ces trois facteurs se rencontre assez tôt dans le développement de la géométrie avant Descartes, ils n'ont cependant pas été rapprochés.

Dès la plus haute antiquité, l'observation astronomique avait conduit à repérer les directions dans l'espace par deux coordonnées angulaires : hauteur au-dessus de l'horizon, écart par rapport au méridien. Et, très tôt, furent mises en évidence des relations entre ces coordonnées. Mais il s'agissait là de pratiques qui étaient à peu près sans rapport avec la science géométrique. Au contraire, c'est au cœur même de la géométrie que l'on voit intervenir chez les Grecs un calcul portant sur deux variables en vue de caractériser des réalités géométriques et d'en établir les propriétés. Chez Archimède et surtout chez Apollonios, un tel calcul est développé systématiquement pour l'étude des coniques. Apollonios écrit explicitement les équations des coniques en coordonnées obliques ayant pour origine un point de la conique et pour directions le diamètre correspondant à ce point et son diamètre conjugué :


pour l'hyperbole, l'ellipse et la parabole respectivement.


Dans une perspective tout à fait différente, Nicolas Oresme, au XIVe siècle, imagine une représentation graphique de certains phénomènes. Il distingue une latitudo et une longitudo qui correspondent à l'abscisse et à l'ordonnée d'une représentation en coordonnées rectangulaires. Cette façon de faire est inverse de celle des Grecs, puisque Oresme ne part pas d'une réalité géométrique mais exprime sous forme géométrique une relation entre des grandeurs. La conception même d'une telle correspondance doit être considérée comme s'inscrivant dans le cadre des idées qui sont à la base de la géométrie analytique. Toutefois, les vues d'Oresme, en dépit de la grande faveur qu'elles connurent, ne furent aucunement rapprochées des pratiques « analytiques » des Grecs dont l'Occident prit connaissance vers la fin du XVIe siècle avec la publication en latin des œuvres d'Archimède et d'Apollonios.


Descartes et Fermat


Le calcul géométrique exposé par Descartes (1596-1650) dans sa Géométrie (1637) ne diffère guère en son principe du calcul d'Apollonios. Il porte sur deux variables que l'on peut sans doute considérer comme constituant des coordonnées ; mais on n'y trouve pas explicités des axes de coordonnées, c'est-à-dire deux droites orientées, distinctes des lignes de la figure. Toutefois, dans quelques passages de son ouvrage, Descartes précise qu'il choisit sur une droite, distincte de la figure, un point origine ; mais il ne fait pas intervenir un autre axe de coordonnées, se contentant de choisir une direction selon laquelle est mesurée la seconde variable.


Le vrai progrès réalisé par Descartes réside en ce que, au lieu de limiter un tel calcul à l'étude d'une figure donnée, comme le faisaient les Grecs, il le pose en procédé général susceptible de permettre la création d'une infinité de courbes nouvelles. Malheureusement, il limite singulièrement le champ de sa géométrie en refusant d'y recevoir les « courbes décrites par deux mouvements qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement ». La formule signifie que Descartes ne reconnaît que les courbes algébriques, excluant les courbes « transcendantes », dont l'étude commençait alors à se développer (logarithme, sinus et cosinus...).
Il faut, d'autre part, noter qu'à la même époque, et même un peu avant lui, Pierre de Fermat (1601-1665) avait abouti à des conceptions fort voisines. Mais, alors que Descartes adopte des notations symboliques qui représentent les constantes et les variables par des lettres, et les puissances par des exposants, Fermat demeure attaché au langage beaucoup plus lourd de l'algèbre géométrique des Grecs.


Descartes applique avec succès sa méthode à la résolution du problème dit de Pappus : Déterminer le lieu des points tels que, étant donné quatre droites et étant considéré les distances d'un point à chaque droite sous des angles déterminés, le produit de deux distances est égal au produit des deux autres. Descartes montre aisément par le calcul que ce lieu est une conique.
La nouvelle méthode suscita dans la seconde moitié du XVIIe siècle un grand nombre de travaux, concernant surtout les courbes planes algébriques (tangente, normale, centre de courbure, point d'inflexion...).

La géométrie analytique moderne


La géométrie analytique n'acquiert pleinement les traits qui la caractérisent aujourd'hui qu'au XVIIIe siècle. Tout d'abord, alors qu'elle était demeurée limitée jusque-là au plan, la géométrie analytique est étendue à l'espace. En 1700, est écrite l'équation de la sphère ; en 1731, Alexis Clairaut (1713-1765) publie une étude remarquable sur les courbes à double courbure. L'apport de Leonhard Euler (1707-1783) est particulièrement notable : dans Introductio in analysin infinitorum (1748), pour la première fois, il énonce le principe de l'équivalence des deux axes, alors que jusque-là l'axe des abscisses avait conservé, par une anomalie qui nous étonne, un rôle privilégié, et il donne une formule vraiment claire du changement de coordonnées, utilisée cependant par Van Schooten dès 1649. De plus, Euler détermine l'équation des surfaces du second degré.


La géométrie analytique ne prend cependant son essor que dans la seconde moitié du XVIIIe siècle. Dans l'esprit de ses travaux sur la mécanique analytique, Louis de Lagrange (1736-1813) souligne « avec combien de facilité et de succès la méthode algébrique peut être employée pour les questions qui paraissaient être le plus du ressort de la géométrie proprement dite et les moins propres à être traitées par le calcul ». Rompant avec la méthode cartésienne qui mêlait les procédés analytiques et géométriques, les éléments du premier ordre (droite et plan) demeurant toujours envisagés de manière géométrique, Lagrange établit autour des années 1770 les équations de la droite et du plan et inaugure l'utilisation systématique de trois axes de coordonnées.


C'est dans cet esprit que Gaspard Monge (1746-1818), à partir de 1771 et, plus systématiquement, en 1795 dans ses Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie, donne à la géométrie analytique son ampleur, établissant les équations des divers types de surfaces algébriques (surfaces réglées, développables, de révolution...) et résolvant analytiquement de nombreux problèmes. On peut alors dire que la géométrie moderne est née. En 1797, Sylvestre François Lacroix (1765-1843) en rédige le premier traité, mais sans encore user du terme même de géométrie analytique, intitulant son ouvrage : Traité de calcul différentiel et intégral.



Le XIXe siècle apporte peu de compléments notables à la géométrie analytique proprement dite. Mais le caractère arbitraire du choix des axes de coordonnées devait conduire à l'étude des invariants dans les changements de coordonnées qui, seuls, peuvent exprimer les propriétés géométriques intrinsèques des figures. À côté des travaux d'ordre algébrique qu'elle contribua à susciter, cette étude fut un des facteurs principaux du développement, au cours du XIXe siècle, des notions de vecteur et de tenseur, dont l'utilisation allait être si féconde, non seulement en mathématique pure mais aussi dans de nombreuses applications.
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