Un grand mathématicien: Leonhard Euler

Un des plus grands mathématiciens du XVIIIe siècle est, sans contredit, Leonhard Euler. Euler était un mathématicien et un physicien suisse, il fut l’élève de Jean Bernouilli (1667-1748). Il est né en 1707 en suisse et il est décédé en Russie en 1783. Ce dernier a produit près de la moitié de son travail lors des dix-sept dernières années de sa vie, et ce, en étant complètement aveugle. Il eut treize enfants, seulement cinq ont survécu et trois d’entre eux suivirent ses traces; Jean-Albert (1734-1800), Charles (1740-1790) et Christophe (1743-1812).

L’œuvre d’Euler s’étend de l’arithmétique à la géométrie différentielle en passant par l'analyse numérique et fonctionnelle, le calcul des variations, les courbes et les surfaces algébriques, le calcul des probabilités et les premiers aspects de la théorie des graphes et de la topologie.

Euler est le fondateur de l’analyse fonctionnelle, car c’est lui qui nous a donné une définition précise de la notion de fonction. C’est à lui que revient la notation f(x) pour désigner l’image d’un nombre x par une fonction f.

C’est aussi à Euler que nous devons le symbole de sommation, étant la lettre grecque Σ. Ce dernier trouvait que d’écrire 1 + 2 + 3 + … + 1000 était trop long, c’est pourquoi il a introduit cette notation :

De plus, Euler assoit de façon définitive, l’usage du nombre pi (), de la lettre i pour la racine carrée de -1, le e (base des logarithmes népériens).

Revenons sur la notion de la lettre i, pour la racine carrée de -1. Cette notation apparait, plus précisément en 1777, avec la théorie des nombres complexes d’Euler. Or, comment calculer la racine carrée d’un nombre négatif ? est le nombre qui élevé au carré est égal à -1. Cependant, nous savons bien qu’un carré ne peut pas être négatif. Certes ! La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas …dans le monde réel … dans l’univers des réels, des nombres réels … ceux de l'ensemble IR. Mais en allant plus loin dans le "monde imaginaire" des mathématiques, la racine carrée d’un nombre négatif « existe » et en particulier celle de -1. On la note i. Elle fait partie de l’ensemble des nombres imaginaires. Ainsi le nombre i est défini comme suit :

i est le nombre dont le carré est -1,

algébriquement : i² = -1 ou encore i = .

En ce qui a trait au e, Euler est le premier mathématicien à s’intéresser, de façon sérieuse, à ce nombre. C’est à lui que nous devons le nom de ce nombre car c’est la première lettre du mot exponentiel. Certaines sources mentionnent que le e est aussi pour la première lettre du nom d’Euler…
La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction réciproque du logarithme népérien. Donc, si ln(x) = y alors x = exp(y).
Or exp(1) est égal à e.

Dans « Introductio in Analysin infinitorum » (1748), il explique que : e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
Nous savons que 5! se lit "factoriel 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5.
Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes.

soit : e = 2,7182818284590452353...

C’est aussi Euler qui a fait la démonstration de l’irrationalité de e.

Sources:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Euler.html#sol1

http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=358&IDD=0

Images:

http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=358&IDD=0