Leonhard Euler (suite)

Encore une fois, dans son traité « Introductio in Analysin infinitorum », publié en 1748, Euler effectue une synthèse considérable des connaissances liées aux fonctions trigonométriques, logarithmes et exponentielles en apposant que si y = a^x (fonction exponentielle de base a, a > 0, a ≠1) alors x est le logarithme de y dans la base a :

y = a^x x = log_ay

Dans le même traité, Euler fixe les fondements de l’analyse mathématique et de la mécanique analytique. Il établit la fameuse constante γ (gamma), qui porte aujourd’hui son nom :

γ = 0,57721566490153286060…

La série 1 + 1/2 + 1/3 +... +1/n + ... est la série harmonique.

On dit que sa nature est un problème ouvert, puisqu’on ne sait pas si c’est un nombre rationnel ou irrationnel. Aujourd’hui près de 108 000 000 décimales de ce nombre sont connues.

Euler établit une formule liant 0, 1, e, et i : e^iπ + 1 = 0, nommé l’identité d’Euler ou la formule d’Euler. Certains scientifiques l’ont appelé la « formule la plus remarquable du monde ». Il élabore une seconde formule mettant en relation la trigonométrie, l’exponentielle et l’analyse complexe :

Pour plus d'explications sur ces deux formules, je vous invite à consulter les sites suivant pour en savoir plus:


http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27Euler
http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_d%27Euler
http://serge.mehl.free.fr/anx/expo_euler.html

La formule d'Euler fut prouvée pour la première fois par Roger Cotes en 1714, puis démontrée à nouveau et popularisée par Euler (1748). Il est amusant de prendre en note qu'aucun de ces deux hommes ne vit l'interprétation géométrique de cette formule : le point de vue géométrique des nombres complexes considérés comme affixes de points du plan n'apparut qu’une cinquantaine d’années plus tard.

Sources:

http://serge.mehl.free.fr/anx/expo_euler.html
http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=417&IDD=0